1、1考查角度 1 直线与圆锥曲线的位置关系分类透析一 直线与圆锥曲线的位置关系问题 例 1 已知直线 x-2y+2=0与圆 C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为 .255(1)求圆 C的方程 .(2)过原点 O作圆 C的两条切线,与抛物线 y=x2相交于 M,N两点(异于原点),证明:直线MN与圆 C相切 .(3)若抛物线 y=x2上任意三个不同的点 P,Q,R,满足直线 PQ和 PR都与圆 C相切,判断直线 QR与圆 C的位置关系,并加以证明 .分析 (1)利用弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形及勾股定理求出圆 C的半径;(2)由于切线过原点,可设切线方程为 y=kx,利用圆心到
2、切线的距离等于圆的半径求 k,再联立切线与抛物线方程,求出 M,N两点的坐标,得出 MN的方程,然后证明圆心 C到 MN的距离等于半径;(3)由三点在抛物线上,可设 P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),用 a,b,c表示圆心 C到直线 QR的距离 d,由直线 PQ和 PR都与圆 C相切,得到 a,b,c的关系式,再代入 d,即可得直线 QR与圆 C相切 .解析 (1) 圆心 C的坐标为(0,2), 圆心 C到直线 x-2y+2=0的距离为 d= = .|0-4+2|12+(-2)2255 截得的弦长为 ,r 2= + =1, 255 (255)2(55)2 圆 C的方程为 x2+(
3、y-2)2=1.(2)设过原点 O的切线方程为 y=kx,即 kx-y=0, =1,解得 k= .|0-2|k2+(-1)2 3 过原点 O的切线方程为 y= x.3不妨设 y= x与抛物线的交点为 M,3则 解得 或 (舍去),故 M( ,3),同理可求得 N(- ,3),y= 3x,y=x2, x= 3,y=3 x=0,y=0 3 3 直线 MN的方程为 y=3. 圆心 C(0,2)到直线 MN的距离为 1且圆 C的半径为 1, 直线 MN与圆 C相切 .2(3)直线 QR与圆 C相切 .证明如下:设 P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),则直线 PQ,PR,QR的方程分别为 P
4、Q:(a+b)x-y-ab=0,PR:(a+c)x-y-ac=0,QR:(b+c)x-y-bc=0.PQ 是圆 C的切线, =1,化简得( a2-1)b2+2ab+3-a2=0. |-2-ab|(a+b)2+1PR 是圆 C的切线,同理可得( a2-1)c2+2ac+3-a2=0. 则 b,c为方程( a2-1)x2+2ax+3-a2=0的两个实根,b+c=- ,bc= .2aa2-1 3-a2a2-1 圆心到直线 QR的距离为 d= = = =1,且圆 C的半径为 1,|-2-bc|(b+c)2+1 |2+3-a2a2-1|4a2(a2-1)2+1 a2+1a4+2a2+1 直线 QR与圆
5、C相切 .方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以借助代数法进行判断,而对于直线与圆的位置关系问题,则可以借助几何法进行判断 .分类透析二 直线与圆锥曲线的交点问题例 2 已知抛物线 C:x2=2y的焦点为 F.(1)设抛物线上任意一点 P(m,n),求证:以 P为切点,与抛物线相切的切线方程是 mx=y+n.(2)若过动点 M(x0,0)(x00)的直线 l与抛物线 C相切,试判断直线 MF与直线 l的位置关系,并予以证明 .分析 (1)利用导数求出抛物线的切线(或把直线与曲线的方程联立,消去 x(或 y)建立一元二次方程,利用判别式等于 0求出斜率;(2)分别求出直线 MF与直线
6、l的斜率,找出其斜率的关系,即可得解 .解析 (1)由抛物线 C:x2=2y,得 y= x2,则 y=x,12 在点 P(m,n)处切线的斜率 k=m, 切线方程是 y-n=m(x-m),即 y-n=mx-m2.又点 P(m,n)是抛物线上的一点,m 2=2n, 切线方程是 mx-2n=y-n,即 mx=y+n.(2)直线 MF与直线 l的位置关系是垂直 .证明如下:由(1)得,设切点为 P(m,n),则切线 l的方程为 mx=y+n,3 切线 l的斜率 k=m,点 M .(nm,0)又点 F ,(0,12)此时, kMF= =- =- =- ,12-00-nm m2n m212m2 1mk
7、kMF=m =-1,(-1m) 直线 MF直线 l.方法技巧 直线与圆锥曲线的位置关系问题可以转化为相应方程组的解来讨论,即联立方程组 通过消去 y(或消去 x)得到关于 x(或 y)的方程Ax+By+C=0,f(x,y)=0, ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0),然后进行讨论 .这时要注意考虑 a=0和 a0 两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除 a0, = 0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况) .由此可见,直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件 .分类透析三 弦长问
8、题例 3 设椭圆 E: + =1(ab0)的短轴为 2 ,E上一点 P到右焦点距离的最小值为 1.x2a2y2b2 3(1)求椭圆 E的方程;(2)过点(0,2)且倾斜角为 60的直线交椭圆 E于 A,B两点,求 AOB的面积 .分析 (1)根据已知条件寻找 a,c的关系,进而解出 a,c 及 b的值;(2)先求出弦长 |AB|,再求出点 O到直线的距离可求 AOB的面积 .解析 (1)由题意得 b= ,且 a-c=1,3 a2-c2=3,a-c=1,解得 椭圆 E的方程为 + =1.a=2,c=1, x24y23(2)过点(0,2)的直线的方程为 y= x+2,3代入椭圆方程 + =1,可得
9、 15x2+16 x+4=0,判别式 0恒成立 .x24y23 3设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,16315 415|AB|= |x1-x2|1+k2=2 = .(x1+x2)2-4x1x2833154由点 O到直线 AB的距离 d= =1,21+(3)2S AOB= d= .|AB|2 43315方法技巧 解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题时,一方面,我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决;另一方面,由于弦长问题和平面几何联系得非常紧密,因此,我们要勤动手,准确地作出图形,并充分挖
10、掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决,注意圆锥曲线的几何性质的运用 .1.(2018年全国 卷,文 20改编)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,过 F且斜率为 1的直线 l与 C交于 A,B两点, |AB|=8.(1)求抛物线 C的方程;(2)求过点 A,B且圆心到直线 l的距离为 2 的圆的方程 .2解析 (1)由题意得 F ,直线 l的方程为 y=x- .设 A(x1,y1),B(x2,y2),(p2,0) p2由 得 x2-3px+ =0.y=x-p2,y2=2px p42又 = 8p20,故 x1+x2=3p.所以 |AB|=|AF|+|BF|=
11、 + =4p.(x1+p2)(x2+p2)由题意知 4p=8,解得 p=2,所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)因为圆心到直线 l的距离为 2 ,|AB|=8,易得圆的半径 r=2 .2 6由(1)得直线 l的方程为 y=x-1,AB的中点坐标为(3,2),所以 AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即 y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为( x0,y0),则解得 或y0= -x0+5,|x0-y0-1|2 =2 2, x0=5,y0=0 x0=1,y0=4.因此所求圆的方程为( x-5)2+y2=24或( x-1)2+(y-4)2=24.2.(2016年全国 卷,文 20改编)已知
12、椭圆 E: + =1的焦点在 x轴上,椭圆 E的左顶点为 A,x2a2y2b2斜率为 k(k0)的直线交椭圆 E于 A,B两点,点 C在椭圆 E上, AB AC,直线 AC交 y轴于点 D.5(1)当点 B为椭圆的上顶点, ABD的面积为 2ab时,求椭圆的离心率 e;(2)当 b= ,2|AB|=|AC|时,求 k的取值范围 .3解析 (1)由题意知,直线 AB的方程为 y= x+b,ba直线 AC的方程为 y=- (x+a),令 x=0,得 y=- .ab a2b又 S ABD= a=2ab,12 (b+a2b)于是 a2+b2=4b2,a2=3b2,所以 e= = .ca 63(2)设直
13、线 AB的方程为 y=k(x+a),联立 整理得(3 +a2k2)x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0,解得 x=-a或 x=- ,x2a2+y23=1,y=k(x+a), a3k2-3a3+a2k2所以 |AB|= = .1+k2 |-a3k2-3a3+a2k2+a| 1+k2 6a3+a2k2设直线 AC的方程为 y=- (x+a),1k同理可得 |AC|= .1+k26a3k+a2k因为 2|AB|=|AC|,所以 2 = ,整理得 a2= .1+k26a3+a2k2 1+k2 6a3k+a2k 6k2-3kk3-2因为椭圆 E的焦点在 x轴上,所以 a23,即 3,6k2-3kk3
14、-2整理得 b0)的离心率为 ,右x2a2y2b2 12焦点 F(1,0).(1)求椭圆 C的方程;(2)点 P在椭圆 C上,且在第一象限内,直线 PQ与圆 O:x2+y2=b2相切于点 M,且 OP OQ,求点Q的纵坐标 t的值 .6解析 (1)由题意得 = ,c=1,ca12a= 2,b= = ,a2-c2 3 椭圆 C的方程为 + =1.x24y23(2) 当 PQ x轴时, P ,Q( ,t),( 3,32) 3由 OP OQ得 =0,可得 t=-2 .OPOQ 3 当 PQ不垂直于 x轴时,设 P(x0,y0),直线 PQ的方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y-kx0+y0
15、=0.PQ 与圆 O相切, = ,|kx0-y0|k2+1 3 (kx0-y0)2=3(k2+1), 2kx0y0=k2 + -3k2-3.x20y20又 Q ( ,t),t-y0+kx0k 由 =0,得 t= .OPOQx0(y0-kx0)x0+ky0t 2= =x20(y0-kx0)2(x0+ky0)2 x20(y0-kx0)2x20+k2y20+2kx0y0=x20(3k2+3)x20+k2y20+k2x20+y20-3k2-3= =12,x20(3k2+3)(1+k2)x20+(1+k2)(3-34x20)-3k2-3t= 2 .3综上可得, t=2 .32.(2018届贵州省黔东南州
16、一模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、 F2,上x2a2y2b2顶点为 A,动直线 l:x-my-1=0(mR)经过点 F2,且 AF1F2是等腰直角三角形 .(1)求椭圆 C的方程;(2)设直线 l交 C于 M,N两点,若点 A在以线段 MN为直径的圆外,求实数 m的取值范围 .解析 (1)因为直线 l:x-my-1=0经过点 F2,所以 c=1.又 AF1F2是等腰直角三角形,所以 a2+a2=(2c)2,所以 a2=2,所以 b2=a2-c2=1.故椭圆 C的方程为 +y2=1.x227(2)设 M(my1+1,y1),N(my2+1,y2),联立 消去 x得
17、( m2+2)y2+2my-1=0,x-my-1=0,x22-y2=1, 所以 y1+y2=- ,y1y2=- .2mm2+2 1m2+2因为点 A在以线段 MN为直径的圆外等价于 0,AMAN所以 =(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=(m2+1) +(m-1) +20,所以AMAN (-1m2+2) (- 2mm2+2)m2-2m-3r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,5 圆 C的方程为( x-2)2+(y-1)2=5.8(3)点 B(0,2)关于直线 x+y+2=0的对称点为 B(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB|+|PQ| |BQ|.又点 B到圆上点 Q的最短
18、距离为|BC|-r= - =3 - =2 ,(-6)2+32 5 5 5 5|PB|+|PQ| 的最小值为 2 ,直线 BC的方程为 y= x,512则直线 BC与直线 x+y+2=0的交点 P的坐标为 .(-43,-23)4.(安徽省马鞍山市 2018届高三第二次教学质量监测)直线 y=kx+4与抛物线 C:x2=2py(p0)交于 A,B两点,且 =0,其中 O为原点 .OAOB(1)求抛物线 C的方程;(2)当 k=0时,过点 A,B分别作 C的切线相交于点 D,点 E是抛物线 C上在 A,B之间的任意一点,抛物线 C在点 E处的切线分别交直线 AD和 BD于点 P和 Q,求 ABE与
19、PQD的面积之比 .解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),将 y=kx+4代入 x2=2py,得 x2-2pkx-8p=0.其中 0,x1+x2=2pk,x1x2=-8p.所以 =x1x2+y1y2=x1x2+ =-8p+16.OAOBx21x224p2由 -8p+16=0,得 p=2.所以抛物线 C的方程为 x2=4y.(2)当 k=0时, A(-4,4),B(4,4),易得抛物线 C在点 A,B处的切线方程分别为 y=-2x-4,y=2x-4,从而得 D(0,-4).设 E(2a,a2)(-2a2),则抛物线 C在 E处的切线方程为 y=ax-a2,设直线 PQ与 y轴的交点为 M,则 M(0,-a2).由 y=ax-a2和 y=-2x-4联立解得交点 P(a-2,-2a),由 y=ax-a2和 y=2x-4联立解得交点Q(a+2,2a),所以 S PQD= |DM|xP-xQ|= |-a2-(-4)|(a-2)-(a+2)|=2|4-a2|,12 12S ABE= |AB|yE-4|= 8|a2-4|=4|4-a2|.12 12所以 ABE与 PQD的面积之比为 2.9
