1、1二次函数的综合应用要题随堂演练1(2018莱芜中考)如图，抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DEBC 于 E.(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图 1，求线段 DE 长度的最大值；(3)如图 2，设 AB 的中点为 F，连接 CD，CF，是否存在点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等？若存在，求点 D 的横坐标；若不存在，请说明理由图 1图 22(2017临沂中考)如图，抛物线 yax 2bx3 经过点 A(2，3)，与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且 OC3OB.(1)求抛物线的解析式
2、；(2)点 D 在 y 轴上，且BDOBAC，求点 D 的坐标；(3)点 M 在抛物线上，点 N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边2形？若存在，求出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由3(2018达州中考)如图，抛物线经过原点 O(0，0)，点 A(1，1)，点B( ，0)72(1)求抛物线解析式；(2)连接 OA，过点 A 作 ACOA 交抛物线于 C，连接 OC，求AOC 的面积；(3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MNOM 交 x 轴于点 N.问：是否存在点 M，使以点 O，M，N 为顶点的三角形与
3、(2)中的AOC 相似，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由34参考答案1解：(1)由已知得 解得a b c 0，16a 4b c 0，c 3， ) a 34，b 94，c 3， )y x2 x3.34 94(2)设直线 BC 的解析式为 ykxb， 解得4k b 0，b 3， ) k 34，b 3， )y x3.34设 D(a， a2 a3)，(0a4)34 94如图，过点 D 作 DMx 轴，交 BC 于点 M，M(a， a3)，34DM( a2 a3)( a3) a23a.34 94 34 34DMEOCB，DEMCOB，DEMBOC， .DEDM OBBCOB4，OC3，BC
4、 5，DE DM，45DE a2 a (a2) 2 ，35 125 35 125当 a2 时，DE 取最大值，最大值是 .125(3)假设存在这样的点 D，使得CDE 中有一个角与CFO 相等F 为 AB 的中点，OF ， tanCFO 2.32 OCOF如图，过点 B 作 BGBC，交 CD 的延长线于 G，过点 G 作 GHx 轴，垂足为 H.5若DCECFO， tanDCE 2，BG10.GBBCGB HBCO， ，GHBO HBOC GBBCGH8，BH6，G(10 ，8)设直线 CG 的解析式为 ykxb， 解得b 3，10k b 8， ) k 12，b 3， )y x3，12 解得
5、 x 或 x0(舍)y 12x 3，y 34x2 94x 3， ) 73若CDECFO，同理可得 BG ，GH2，BH ，52 32G( ，2)112同理可得直线 CG 的解析式为 y x3，211 解得 x 或 x0(舍)y 211x 3，y 34x2 94x 3， ) 10733综上所述，存在 D 使得CDE 中有一个角与CFO 相等，其横坐标是 或 .73 107332解：(1)当 x0 时，y3，C(0，3)OC3OB，OB1，B(1，0)又抛物线经过点 A，B， 解得a b 3 0，4a 2b 3 3， ) a 1，b 2， )抛物线的解析式为 yx 22x3.(2)设直线 AB 的
6、解析式为 ymxn，则 解得2m n 3， m n 0， ) m 1，n 1， )6直线 AB 的解析式为 yx1，直线 AB 与 y 轴的交点 E(0，1)，ECAC2，BAC45，BDOBAC45.点 D 在 y 轴上，OBOD1.D 点的坐标为(0，1)或(0，1 )(3)存在如图，AB 为对角线时，易得平行四边形 AM1BN1，M 1(0， 3)；AB 为一边时，在平行四边形 ABM2N2中，点 A 的横坐标是 2，点 N2的横坐标是 1，点 B 的横坐标是1，由图形平移前后点的坐标关系，得点 M2的横坐标是2.点 M2的纵坐标 y(2) 22(2)35，点 M2(2，5)；在平行四边
7、形 ABN3M3中，点 B 的横坐标是1，点 N3的横坐标是 1，点 A 的横坐标是 2，由图形平移前后点的坐标关系，得点 M3的横坐标是 4.点 M3的纵坐标 y4 22435，点 M3(4，5)综上所述，点 M 的坐标为(0，3)，(2， 5)或(4，5)3解：(1)设抛物线解析式为 yax(x )，72把 A(1，1)代入得 a(1 )1，解得 a ，72 25抛物线解析式为 y x(x )，25 72即 y x2 x.25 75(2)如图，延长 CA 交 y 轴于 D.7A(1，1)，OA ，DOA45，2AOD 为等腰直角三角形OAAC，OD OA2，2D(0，2)，易得直线 AD
8、的解析式为 yx2.解方程组 y x 2，y 25x2 75x)得 或x 1，y 1) x 5，y 3， )则 C(5，3)，S AOC S C ODS A OD 25 214.12 12(3)存在如图，作 MHx 轴于 H.AC 4 ，（ 5 1） 2 （ 3 1） 2 2OA .2设 M(x， x2 x)(x0)25 75OHMOAC，当 时，OHMOAC，OHOA MHAC即 ，x2 | 25x2 75x|4 2解方程 x2 x4x 得 x10(舍去)，x 2 (舍去)，25 75 132解方程 x2 x4x 得 x10(舍去)，x 2 ，此时 M 点坐标为( ， 54)；25 75 272 272当 时，OHMCAO，OHAC MHOA8即 ，x4 2 | 25x2 75x|2解方程 x2 x x 得 x10(舍去)，x 2 ，此时 M 点的坐标为( ， )；25 75 14 238 238 2332解方程 x2 x x 得 x10(舍去)，x 2 ，此时 M 点坐标 为( ， )25 75 14 338 338 3332MNOM，OMN90，MONHOM，OMHONM，当 M 点的坐标为( ，54)或( ， )或( ， )时，以点 O，M，N 为顶点的三角形与(2)中的272 238 2332 338 3332AOC 相似
