1、1蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测数学试题（理科）一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若全集 U=R，集合 ，B= ，则 =（ 02xAx1)2(log3()uACB）A B 或 x21C D 或 x22若 ，则 cos2=（ ）53)sin(A B C D7242572543若非零向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ）ab()0ababA30 B60 C120 D1504已知函数 ，且 ，则 =（ ）)(xf1),(log21xx 3)(f)6(fA B C D7454415设 是平面 内的两条不同直
2、线， 是平面 内两条相交直线，则 的一nm, 21,l个充分不必要条件是（ ）A B C Dl1, 21,lm21,lnnlm1,/6若直线 与圆 有公共点，则（ ）byax2yxA B C D1212ba12ba12ba7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B363C D 2528在等比数列 中，若 ， ，则 （ na435245432aa 543211a）A1 B C D39已知 满足约束条件 ，且 的最小值为 2，则常数 =（ yx,03kyxyxz42k）A2 B2 C6 D310 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中， 平面 ，且 ，
3、 ，点 在棱 上运BCDDBAPAC行，设 的长度为 ，若 的面积为 ，则 的图象大致是（ ）PxP)(xf)(fA 311已知圆 , ，考虑下列命题：圆 C 上的点到41)2()(:2ayxCR（4，0）的距离的最小值为 ；圆 C 上存在点 P 到点 的距离与到直线7)0,21(的距离相等；已知点 ，在圆 C 上存在一点 ，使得以 为直径的23x )0,23(AAP圆与直线 相切，其中真命题的个数为（ ）1A0 B1 C2 D312定义在0，+）上的函数 满足： 其中)(xf 1()()2xfxfee，表示 的导函数，若对任意正数 都有 ，则实()fx)(f ba, 34)abf数 的取值范
4、围是（ ）A （0，4 B2，4C （，0）4，+） D4，+）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）.13垂直于直线 并且与曲线 相切的直线方程是 0162yx 532xy。 14.已知 为数列 的前 项和，nSna且 则 的通项公式为 )2(,43211 a1an。 15. 菱形 ABCD 的边长为 2，且BAD=60，将三角形 ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥ABCD，则三棱锥 ABCD 体积的最大值为 16. 已知锐角 的三个内角的余弦值分别等于钝角 的三个内角的正弦值，1CBA2CBA其中 ，若 ，则 的最大值为 . 2|2|3|22
5、BA三解答题（共 6 大题，17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）17设 的内角 所对的边分别为 ，且 ABC, cba, cbC23os（1）求 的值；sin4（2）若 ，求 面积的最大值6aABC18.已知数列a n满足 a1=1，a n+1=2Sn+1，其中 Sn为a n的前 n 项和，nN *（1）求 an；（2）若数列b n满足 bn= ，b n的前 n 项和为 Tn，且对任意的正整数 n 都有 Tnm，求 m 的最小值19.已知函数 的最小正周期为 22cos1(0)6fxsinxx （ ）求 的值及函数 的单调递增区间1f（ ）求 在区间 上的最大值和最小值2fx
6、70,1220. 如图所示，四棱锥 SABCD 中，SA底面 ABCD，ABC=90， ，BC=1，AS=2，ACD=60，E 为 CD 的中点（1）求证：BC平面 SAE；（2）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值521. 已知椭圆 C： =1（ab0）的离心率为 ，短轴端点到焦点的距离为 2（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 A，B 为椭圆 C 上任意两点，O 为坐标原点，且 OAOB求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值，并求出该定值22. 已知函数 f（x）=ax 2+xxlnx（aR）（）若函数 f（x）在（0，+）上单调递增，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x）
7、有两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） ，证明： 6蒙阴县实验中学高三上学期第二次质量检测答案一、选择题本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5 B C C A B 6-10 D B C B A 11-12 C C 2、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.13 . 3x+y+6=0 14.15. 1 16. 017. 【解析】 （1）ABC 中，3acosC=3b2c，由正弦定理得：3sinAcosC=3sinB2sinC，3sinAcosC=3sin（A+C）2sinC，3
8、cosAsinC=2sinC，sinC0， ，A（0，） ，-5 分（2）由（1）知 ，可得： ，由余弦定理得： ， ， ，bc9（当且仅当 b=c 时取“=”号）可得： ，即ABC 面积的最大值为 -10 分。18. 【解析】：（1）数列a n满足 a1=1，a n+1=2Sn+1，n2 时，a n=2Sn1 +1，相减可得：a n+1a n=2an，即 an+1=3an，数列a n是等比数列，公比为 3，首项为 1an=3n1 （2）数列b n满足 bn= = = =，b n的前 n 项和为 Tn= += = 7对任意的正整数 n 都有 Tnm， mm ，m 的最小值为 19. 【解析】：
9、（ ）12si2cos16fxxxsin2cos2inco66x3in ， 在 中，2T1226kxk即 为单调递增区间|36xkxk（ ）由（ ）得 ，212fsinx ，70x ，4263当 时，即 时， ，x6xmax1f当 时，即 时， 4263712in32f20. 【解析】证明：（1）因为 ，BC=1，ABC=90，所以 AC=2，BCA=60，在ACD 中， ，AC=2，ACD=60，由余弦定理可得：AD 2=AC2+CD22ACCDcosACD解得：CD=4所以 AC2+AD2=CD2，所以ACD 是直角三角形，又 E 为 CD 的中点，所以又ACD=60，所以ACE 为等边三
10、角形，six8所以CAE=60=BCA，所以 BCAE，又 AE平面 SAE，BC平面 SAE，所以 BC平面 SAE解：（2）由（1）可知BAE=90，以点 A 为原点，以 AB，AE，AS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 S（0，0，2） ， ， ， 所以 ， ， 设 为平面 SBC 的法向量，则 ，即设 x=1，则 y=0， ，即平面 SBC 的一个法向量为 ，所以所以直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值为 21. 【解析】：（1）由题意知，e= = ，a= =2，又 a2=b2+c2，所以 a=2，c= ，b=1，所以椭圆 C 的方程为 +y2=1；
11、（2）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 的方程为 x= ；此时，原点 O 到直线 AB 的距离为 ；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y=kx+m，A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 代入椭圆方程 x2+4y2=4，得（1+4k 2）x 2+8kmx+4m24=0，则=（8km） 24（1+4k 2） （4m 24）=16（1+4k 2m 2）0，x1+x2= ，x 1x2= ，则 y1y2=（kx 1+m） （kx 2+m）=k 2x1x2+km（x 1+x2）+m 2=k2 +km（ ）+m 2= ，由 OAOB 得 kOAkOB=1，即 x1x2
12、+y1y2=0，9所以 =0，即 m2= （1+k 2） ，所以原点 O 到直线 AB 的距离为 d= = ，综上，原点 O 到直线 AB 的距离为定值 22. 【解析】：（）f（x）=2ax+1lnx1=2axlnx（x0） ，依题意知：f（x）0 在（0，+）上恒成立，即 令 ，则 ，知 g（x）在（0，e）单调递增，在（e，+）单调递减，于是 ，即 （）证明：依题意知 x1，x 2（x 1x 2）是方程 2axlnx=0（x0）的两个根，即 2ax1lnx 1=0，2ax 2lnx 2=0， （0x 1x 2） ，可得 2a（x 1+x2）=lnx 1+lnx2，2a（x 1x 2）=lnx 1lnx 2所以 欲证 ，只要证，令 h（t）=（t+1）lnt+2（t1） （0t1） ，只要 h（t）0 即可则 ，再令 ，则 可知：（t）=h（t）在（0，1）上递减，可知 h（t）h（1）=0，即 h（t）在（0，1）上递增，有 h（t）h（1）=0，综上可知： 10
