1、1第 1 章 常用逻辑用语体系构建自我校对逆否命题 必要条件 pq p 且 q 或 全称命题 存在量词题型探究四种命题及其相互关系四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用非 p 和非 q 分别表示 p 和 q 的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若 p，则 q；逆命题：若 q，则 p；否命题：若非 p，则非 q；逆否命题：若非 q，则非p.原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可
2、转化为证明其逆否命题已知 a， b， cR，写出命题“若 ac0，则方程 ax2 bx c0 有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假精彩点拨 按照四种命题的定义写出命题，只需判定原命题及逆命题的真假，利用2互为逆否命题的命题是等价命题，可知否命题与逆否命题的真假规范解答 逆命题：“若方程 ax2 bx c0( a， b， cR)有两个不相等的实数根，则 ac0” ，是假命题如当 a1， b3， c2 时，方程 x23 x20 有两个不等实根 x11， x22，但ac20.否命题：“若 ac0，则方程 ax2 bx c0( a， b， cR)没有两个不相等的实数
3、根” ，是假命题这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题逆否命题：“若方程 ax2 bx c0( a， b， cR)没有两个不相等的实数根，则ac0” ，是真命题因为原命题是真命题，而逆否命题与原命题等价再练一题1给出下列命题：已知 a(3,4)， b(0，1)，则 a 在 b 方向上的投影为4；函数 ytan 的图象关于点 成中心对称；(x 3) ( 6， 0)命题“如果 ab0，则 a b”的否命题和逆命题都是真命题；若 a0，则 ab ac 是 b c 成立的必要不充分条件其中正确命题的序号是_(将所有正确的命题序号都填上) 【导学号：71392036】解析 | a|5，| b|
4、1， ab4，cos a， b ，45 a 在 b 方向上的投影为| a|cos a， b4，正确；当 x 时，tan 无意义， 6 (x 3)由正切函数 ytan x 的图象的性质知，正确；原命题的逆命题为“若 a b，则 ab0”为真，其否命题也为真正确；当 a0， b c 时， ab ac 成立(当 a0， ab ac 时不一定有 b c)正确答案 充分条件与必要条件的判断关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定；3若“ pq”，且“ p q”，则 p 是 q 的“充分不必要条件” ，同时 q 是 p 的“必要不充分/条件” ；若“ pq”，则 p 是 q 的“充
5、要条件” ，同时 q 是 p 的“充要条件 ”；若“ p q”，则 p 是 q 的“既不充分也不必要条件” ，同时 q 是 p 的“既不充分也不必/要条件” 设 p：实数 x 满足 x24 ax3 a20.且非 p 是非 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围精彩点拨 非 p 是非 q 的必要不充分条件也就是 p 是 q 的充分不必要条件( q 是 p 的必要不充分条件)利用集合之间关系列不等式组求解规范解答 设 A x|p x|x24 ax3 a20 x|x2 且 y2 时，有 x y4， xy4，即Error! Error!反之，当 x14， xy54，即Error! Error!/
6、Error! 是Error!的必要不充分条件.含逻辑联结词的命题1.“且” 、 “或” 、 “非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“ p 或 q”、 “p 且 q”、 “非 p”三种形式2含逻辑联结词的命题的真假判断：“ p 或 q”中有真为真， “p 且 q”有假为假，非p 与 p 真假相反给出两个命题： p：函数 y x2 x1 有两个不同的零点， q：若 1，那么在下列四个命题中，真命题是_. 【导学号：71392037】(非 p)或 q； p 且 q；(非 p)且 (非 q)；(非 p)或(非 q)精彩点拨 判 断 p， q真 假
7、非 p， 非 q真 假 命 题 真 假规范解答 1450， p 真 x1 不成立， q 假，1x非 q 真，均为假命题，为真命题答案 再练一题3若命题 p： x(x4)0，命题 q： 1，则非 p 是非 q 成立的_条13 x件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)解析 由命题 p： x(x4)0 得 p： x0 或 x4，则非 p：4 x0.由 q：1，得 q：2 x3，则非 q： x2 或 x3.因为非 p非 q，非 q 非 p，所以非 p 是13 x /非 q 成立的充分不必要条件答案 充分不必要全称命题和存在性命题1全称命题“ x M， p(x)”强调命题
8、的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)不成立即可2存在性命题“ x M， p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；(2)要判断它是假命题，需对集合 M 中每一个元素 x，证明 p(x)不成立判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假(1)对角互补的四边形都内接于一个圆；(2)对于定义在区间 a， b上的连续函数 f(x)，若 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在开区间( a， b)上至
9、少有一个零点；(3)x ，tan xsin x；(0， 2)(4)x R，log 2(3x1)0.精彩点拨 理 解 含 义 寻 找 量 词 判 断 类 别 判 断 真 假5规范解答 (1)全称命题，是真命题；(2)存在性命题，是真命题；(3)全称命题，tan x ， x ，sin xcos x (0， 2)0cos x1，sin x0， 1， sin x，即 tan xsin x，1cos x sin xcos x是真命题；(4)存在性命题，3 x0，3 x11，则 log2(3x1)0，是假命题再练一题4下列命题中，既是真命题又是存在性命题的是_. 【导学号：71392038】有一个角 ，使
10、 tan(90 )tan ； x R，使 sin x ； 2对任意角 ，都有 sin(180 )sin ； ， R，sin( )sin cos cos sin .解析 是存在性命题且是真命题，是存在性命题且是假命题，都是全称命题答案 含一个量词的命题的否定1全称命题的否定一定是存在性命题p： x M， p(x)成立；非 p： x M，非 p(x)成立2存在性命题的否定一定是全称命题p： x M， p(x)成立；非 p： x M，非 p(x)成立3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再把判断词加以否定写出下列命题的否定，并判断它们的真假(1
11、)p： xR， x2 x 0；14(2)q： x 是质数， x 不是奇数；(3)r：至少有一个实数 x，使 x ；x2 16(4)s：所有的周期函数都有最小正周期精彩点拨 改 变 量 词 否 定 结 论 写 出 否 定 作 出 判 断规范解答 (1)非 p： xR，使 x2 x 0，则方程 x2 x m0 有实根”的逆否命题是_解析 “若 p 则 q”的逆否命题是“若非 q 则非 p”答案 若方程 x2 x m0 没有实根，则 m02命题“ x0(0 ，)，ln x0 x01”的否定是_. 【导学号：71392039】解析 存在性命题“ x0 M， p(x0)”的否定是全称命题“ x M，非
12、p(x)”答案 x(0，)，ln x x13设 R，则“ ”是“sin ”的_条件(填“充分不必| 12| 12 12要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)7解析 0 sin ，而当 sin 时，取 ，| 12| 12 6 12 12 6 ，即 sin ，故“ ”是“sin ”的| 6 12| 4 12 12/| 12| 12 | 12| 12 12充分不必要条件答案 充分不必要4设 m， n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 m n”是“ mn0”的_条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分也不必要”)解析 若存在负数 ，使 m n，则 mn nn n2 |n|20.若 mn0则可得 cos m， n0，但不一定推得“存在负数 ，使得 m n”综上所述， “存在负数 ，使得 m n”是“ mn0”的充分不必要条件答案 充分不必要5已知命题 p： x0，ln( x1)0；命题 q：若 a b，则 a2 b2.下列命题为真命题的是_(填序号). 【导学号：71392040】 p q； p非 q；非 p q；非 p非 q.解析 当 x0 时， x11，ln( x1)0，即 p 为真命题；取 a1， b2，这时满足 a b，显然 a2 b2不成立，即 q 为假命题，由复合命题真值表易知，为真命题答案
