1、1甘肃省天水市第一中学 2018-2019 学年高二上学期期末考试数学（理）试题（满分：150 分 时间：120 分钟）一、单选题（每小题 5 分，共 60 分）1.在 中，内角 和 所对的边分别为和 ，则 是 的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在 中，由正弦定理可得 ，则 ，即又 ，则 ，即 ，所以 是 的充要条件，故选 C2.设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上任意一点，则 的周长为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意 的周长为: ,故选 D.3.已知实数 满足 ，则 的最小值是x,y 2x+y4xy
2、1x2y2 z=x+2yA. B. C. 4 D. 2 2 4【答案】A【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件 ，写出可行域如图，2x+y4x-y1x-2y2 化 z=x+2y 为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A（2，0）时，直线在 y 轴上的x2+z2 x2+z22截距最小，z 有最小值等于 z=2+20=2故答案为：A点睛：（1）本题主要考查线性规划求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要加强理解，不是纵截距最小，就最小，要看函数的解析
3、式，如： ,直线的纵截距为 ,所以纵截距 最小时，最大.y=2xz z z4.已知数列 满足： ， ， ，那么使 成立的 的最大值an a1=2 an0 a2n+1-a2n=4(nN*) an0, b0)3为双曲线的半焦距，如果 成等比数列，则双曲线 Ea,b,cA. 可能是“黄金双曲线” B. 可能不是“黄金双曲线”C. 一定是“黄金双曲线” D. 一定不是“黄金双曲线【答案】C【解析】分析：由 成等比数列可得 ，而 ， 解方程求得双曲线a,b,c b2=ac b2=c2a2 e=ca,e2e1=0的离心率，即可判断双曲线是否为“黄金双曲线”.详解： 双曲线的方程为 ，x2a2y2b2=1(
4、a0,b0)设为双曲线的半焦距， 成等比数列，a,b,c，又 ，b2=ac b2=c2a2， ，c2a2=ac c2aca2=0，e=ca,e2e1=0又 ， ，e1 e1+124(1)2 =5+12所以双曲线一定是“黄金双曲线” ，故选 C.点睛：本题考查等比中项的性质，双曲线的简单性质与离心率、新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要
5、求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“黄金双曲线”达到考查双曲线的简单性质与离心率的目的.6.已知 恒成立，则实数 的取值范围是x0,y0，若2yx+8xym2+2m mA. B. m4或 m2 m2或 m4C. D. 20点睛：解答本题的关键是搞清楚函数的图像的变化情况与题设的要求，将每一个函数解析式的导数求出，再运用比较对比的方法将函数的解析式选出，从而使得问题获解。11.设函数 ，函数 ，若对任意的 ，总存在f(x)=ex(x1) g(x)=mxm(m0) x12,2，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）x22,2 f(x1)=g(x2) mA. B. C.
6、 D. 3e2,13 13,e2 13,+) e2,+)【答案】D【解析】分析：求出 的值域 A，及 的值域 B，由 可得结f(x)(x2,2 g(x)=mxm,x2,2 AB论详解： ， 时， ， 递减， 时， ， 递增，f(x)=xex x2,0) f(x)0 f(x)的极小值也是最小值为 ，当 时， ， ， 的值域为f(x) f(0)=1 x2,0) f(x)0 x2,2 g(x) 3m,m 3m1me2得 me2故选 D点睛：本题考查转化与化归思想解题关键是对“存在”和“任意”的理解与转化在集合 D 上：设 的值域为 ， 的值域为 ，f(x) A g(x) B若对任意 ，总存在 ，使得
7、 ，则有 x1D x2D f(x1)=g(x2) AB12.设 F1，F 2分别是椭圆 的左、右焦点，直线过 F1交椭圆 C 于 A，B 两C:x2a2+y2b2=1(ab0)点，交 y 轴于 C 点，若满足 且 ，则椭圆的离心率为F1C=32AF1 CF1F2=30A. B. C. D. 33 36 13 16【答案】A【解析】【分析】8根据椭圆中线段关系，表示出 ， ， 。由余弦定理即可求|AF1|=43c9 |F1F2|=2c |AF2|=2a43c9得 a 与 c 的关系，进而求得离心率。【详解】因为 F1是椭圆 的左焦点，直线过 F1交 y 轴于 C 点C:x2a2+y2b2=1(a
8、b0)所以 ，即 F1(c,0) |OF1|=c因为 ，所以CF1F2=30 |CF1|=23c3又因为 F1C=32AF1所以 |AF1|=43c9在三角形 AF1F2中， ， ， ，根据余弦定理可得|AF1|=43c9 |F1F2|=2c |AF2|=2a43c9，代入得cosAF1F2=|AF1|2+|F1F2|2|AF2|22|AF1|F1F2|，化简得 32=(43c9)2+(2c)2|2a43c9|22(43c9)(2c) a= 3c所以离心率为 e=ca=33所以选 A【点睛】本题考查了椭圆的基本性质及其综合应用，余弦定理求椭圆斜率的用法，计算量较大，易出错，属于难题。二、填空题
9、（每小题 5 分，共 20 分）13.设 的内角 所对边的长分别为 ,若 ,则角ABC A,B,C a,b,c b+c=2a,3sinA=5sinB_C=【答案】23【解析】分析：利用正弦定理得 ，结合条件得 ，由余弦定理可得 ，代入求a=53b c=73b cosC=a2+b2-c22ab解即可.详解：由正弦定理， 可得： ，即 .3sinA=5sinB 3a=5b a=53b又 ，可得 .b+c=2a c=2a-b=103b-b=73b9由余弦定理可得 .cosC=a2+b2-c22ab =(53b)2+b2-(73b)2253b2 =-12所以 .C=23故答案为： .23点睛：本题主要
10、考查了运用正弦定理边角互化，余弦定理求解三角形内角，属于基础题.14.设公比不为 1 的等比数列 满足 ，且 成等差数列，则数列 的前 4an a1a2a3=18 a2,a4,a3 an项和为_【答案】58【解析】【分析】：由等比中项求解 ，由等差中项求解 ，由等比数列的求和公式求解 。a2 q S4【详解】：公比不为 1 的等比数列 满足 ，所以 ，解得 ，an a1a2a3=-18 a23=-18 a2=-12， ， 成等差数列，故 ，解得 ， ，由a3=-12q a4=-12q2 a2,a4,a3 2a4=a2+a3 q=-12 a1=1可得： 。Sn=a1(1-qn)1-q S4=58
11、【点睛】：等比中项的性质： ，等差中项的性质： ，等比数an2=an-1an+1 2an=an-1+an+1列的前 项和公式 。n Sn=a1(1-qn)1-q15.如图，点 在正方形 所在的平面外， ，则 与 所成P ABCD PD底 面 ABCD，PD=AD PA BD角的度数为_.【答案】 60【解析】10【分析】以 D 为坐标原点，DA 所在的直线为 轴，DC 所在的直线为 轴，DP 所在的直线为轴，建立x y空间直角坐标系，令 ，求得 ，利用向量的夹角公PD=AD=1 PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0)式，即可求解.【详解】如图所示，以 D 为坐标原点，DA 所在的直线
12、为 轴，DC 所在的直线为 轴，DP 所x y在的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， 平面 ，PD ABCD,PD=AD令 ，所以 ，PD=AD=1 A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)所以 ,PA=(1,0,-1),BD=(-1,-1,0)所以 ，所以 ，cos=|PABD|PA|BD|= 122=12 =600即异面直线 PA 与 BD 所成的角为 600【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能
13、力，属于基础题.16.已知函数 ， 的导函数为 ，且满足 , ,则f(x) x(0,+) f(x) xf(x)2f(x)=x3exf(1)=e1在 处的切线为_f(x) (2,f(2)【答案】 y=(8e24)x12e2+4【解析】 ，xf(x)2f(x)=x3ex11 xf(x)2f(x)x3 =ex令 ，则 ，g(x)=f(x)x2 g(x)=xf(x)2f(x)x3 =ex （为常数） ，g(x)=f(x)x2=ex+c ，f(x)=x2(ex+c)又 ，f(1)=e+c=e1 c=1 ，f(x)=x2(ex1) ，f(x)=2x(ex1)+x2ex=(x2+2x)ex2x f(2)=8
14、e24又 ，f(2)=4(e21)所求切线方程为 ，即 y4(e21)=(8e24)(x2) y=(8e24)x12e2+4答案： y=(8e24)x12e2+4点睛：（1）解答本题的关键是求出函数 的解析式，对于条件中含有导函数的等式或不等式的f(x)问题，一般要根据题意构造出函数，然后再结合题意进行解题（2）本题中已知导数 构造函数 时，不要忘了把 设为 的形式，g(x)=ex g(x) g(x) g(x)=ex+c否则构造出的函数不会具有一般性三、解答题17. 中，三个内角 的对边分别为 ，若 ， ，且ABC A,B,C a,b,c m=(cosB,cosC) n=(2a+c,b).mn
15、（1）求角 的大小；B（2）若 ， ，求 的面积.b=7 a+c=8 ABC【答案】 （1） ；（2） .23 1534【解析】试题分析：（1）根据题意，由向量数量积的坐标计算公式可得若 ，则有mn12cosB（2a+c）+cosCb=0，结合正弦定理可得 cosB（2sinA+sinC）+cosCsinB=0，将其整理变形可得 ，由 B 的范围分析可得答案；（2 ）结合题意，根据余弦定理分析cosB=-12可得 49=a2+c2+ac，又由 a+c=8，变形可得 ac=15，由三角形面积公式计算可得答案详解：（1） ， ，mn cosB(2a+c)+cosCb=0 ，cosB(2sinA+s
16、inC)+cosCsinB=0 ，2cosBsinA=-(sinCcosB+cosCsinB) =-sin(B+C)=-sinA ， .cosB=-12 B=23（2）根据余弦定理可知 ， ，b2=a2+c2-2accosB 49=a2+c2+ac又因为 ， ， ， ，a+c=8 (a+c)2=64 a2+c2+2ac=64 ac=15则 .S=12acsinB=1534点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,
17、当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往ab b2 a2往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2（1）求证：AO平面 BCD；（2）求二面角 OACD 的余弦值【答案】 （1）证明略（2）217【解析】【分析】（1）由题意，求得 ，利用勾股定理证得 ，利AOBD,COBD,AO=1,CO= 3 AOCO13用线面垂直的判定定理，即可得到 平面 .AO BCD（2）由（1）知 两两垂直，以 点为原点建立空间直角坐标系，
18、求得平面OB,OC,OA O和平面 的法向量为 ，利用向量的夹角公式，即可求解.ACD ACO m,n【详解】 （1）因为四面体 ABCD 中，O 是 BD 的中点，所以 CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ,2所以 ，AOBD,COBD,AO=1,CO= 3所以 ，所以 ，AO2+CO2=AC2 AOCO因为 ，所以 平面 .BDCO=O AO BCD（2）由（1）知 两两垂直，以 点为原点建立空间直角坐标系，OB,OC,OA O则 ,O(0,0,0),A(0,0,1),C(0, 3,0),D(-1,0,0) ，AC=(0, 3,-1),AD=(-1,0,-1)设平面 的法向量为 ，A
19、CD m=(x,y,z)则 ，取 ，则 ，mAC=0mAD=0 3y-z=0-x-z=0 y=1 m=(- 3,1, 3)又由平面 的一个法向量为 ，ACO n=(1,0,0)设二面角 的平面角为，易知为锐角，O-AC-D则 ，cos=|mn|m|n|=37=217所以二面角 的余弦值为 .O-AC-D217【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解
20、.19.已知动点 (其中 )到 轴的距离比它到点 的距离少 1.P(x,y) y0 x F(0,1)14（1）求动点 P 的轨迹方程；（2）若直线 与动点 P 的轨迹交于 A、B 两点，求 的面积.l:xy+1=0 OAB【答案】(1) ；（2）y=x24 SOAB=22【解析】试题分析：(1)由题意易得：|y|+1=|PF| 坐标化后化简即可得到动点 P 的轨迹方程；(2)联立方程，得到： ，借助韦达定理表示OAB 的面积.x2-4x-4=0试题解析：（1）由已知，|y|+1=|PF|即： ，y2+2|y|+1=x2+(y-1)2又 ，y= .y0x24（2）设 A(x1,y1)，B(x2,
21、y2)，不妨令 x10，l：x-y+1=0 过点 F(0,1)， SAOB=SAOF+SBOF=12(x2-x1)联立 ， x-y+1=0y=x24则 满足0，且 x1-x2= x2-4x-4=0 (x1+x2)2-4x1x2=42 SOAB=2220.已知公比为整数的正项等比数列 满足： ， an a3a1=24a1a9=310（1）求数列 的通项公式；an（2）令 ，求数列 的前 项和 bn=(n+1)an bn n Sn【答案】 （1） ；（2）an=3n 14(2n+1)3n+13【解析】【试题分析】 （1）利用基本元的思想，将两个已知条件转化为 的形式，解方程组可求a1,q得 和通项
22、公式.（2）由于 是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相a1,q bn减求和法求其前 项和 .n Sn【试题解析】15（1）设等比数列 的公比为 ，an q由 ，有 可得 ，由 可得 ，a1a9=310 a21q8=310 a1q4=35 a3-a1=24 a1(q2-1)=24两式相除可得： ，整理为： ，由 ，且 为整数，可8q4-81q2+81=0 (8q2-9)(q2-9)=0 q0 q解得 ，数列 的通项公式为 q=3 an an=3n（2）由 ，bn=(n+1)3n，Sn=23+332+433+ +n3n-1+(n+1)3n有 ，3Sn=232+333+434+ +n
23、3n+(n+1)3n+1两式作差有： ，-2Sn=6+32+33+3n-(n+1)3n+1得 ，2Sn=(n+1)3n+1-3-3(1-3n)1-3 =(2n+1)3n+1-32故 Sn=14(2n+1)3n+1-321.已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .x2a2+y2b2=1(ab0) 22 A(2,0)求椭圆的标准方程；(1)过点 的动直线交椭圆于另一点 ，设 ，过椭圆中心 作直线 的垂线交于点 ，(2) A B D(-2,0) O BD C求证： 为定值.OBOC【答案】 4，证明见解析(1)x24+y22=1(2)【解析】【分析】（1）利用椭圆 C： 的离心率为 ，且经过点 M（2，
24、0） ，可求椭圆的几何x2a2+y2b2=1(a b 0) 22量，从而可求椭圆方程；（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得 B 点坐标，再结合条件求出 C 的坐标，16计算 ，得出定值 4.OBOC【详解】 因为椭圆的离心率 ，且 ，所以 . (1) e=ca=22 a=2 c= 2又 .故椭圆的标准方程为 .b2=a2-c2=2x24+y22=1设直线的方程为 （一定存在，且 ）.(2) x=ty+2 t0代入 ，并整理得 .x2+2y2=4 (t2+2)y2+4ty=0解得 ，于是 .yB=-4tt2+2 xB=tyB+2=4-2t2t2+2又 ，所以 的斜率为 .D(-2,0
25、) BD-4t2+2(4-2t2t2+2+2)=-t2因为 ，所以直线的方程为 .OCBD y=2xt与方程 联立，解得 .x=ty+2 C(-2,-4t)故 为定值.OBOC=4t2-8t2+2+ 16t2+2=4t2+8t2+2=4【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，正确运用韦达定理是关键22.已知函数 .f(x)=12x2(a+1)x+alnx（1）当 时，求 的单调区间；a1 f(x)（2）当 且 时，若 有两个零点，求的取值范围.a0 f(x)0，只需 ，解得 ；当 时， 在 ，f(2)=a(-2+ln2)0 f(1)=-a-120)17当 时，由
26、 ，得 或 ；a1 f(x)0 0a由 ，得 .f(x)0 1xa故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.f(x) (0,1) (a,+) (1,a)（2）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，a0 f(x) (1,+) (0,1)则 ，f(x)min=f(1)=-a-12因为 ， ，且 ，所以 ，即 .当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，在 时取得极大值，且 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 在 只有一个零点.综上，的取值范围为 .【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，属于难题.利用导数求函数的单调区间的一般步骤：1、求出 ；2、在定义域内，令求得 的范围，可得函数 增区间；3、在定义域内，利用 求得 的范围，可得函数 的减区间.
