1、- 1 -安徽省安庆市五校联盟 2019 届高三数学上学期开学考试试题 理考试时间：120 分钟 总分：150 分一、单项选择（每题 5 分，共 60 分）1、已知集合 M0，x，N1,2，若 MN2，则 MN( )A. 0，x,1,2 B. 2,0,1,2C. 0,1,2 D. 不能确定2、若复数 1zi， z为 的共轭复数，则复数 1iz的虚部为（ ）A. i B. C. D. 13、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验，根据收集到的数据（如下表） ，由最小二乘法求得回归直线方程 6.48.0+=xy（ ）零件数 x 个 10 20 30 40 50
2、加工时间 y（min） 62 75 81 89表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）A68 B68.2 C69 D754、等差数列a n中，a 1+a5=10,a4=7,则数列a n的公差为A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、某几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为 则正视图中 x 的值为（ ）- 2 -A5 B 4 C3 D 2 6、函数 21xye的大致图象是（ ）A B C. D. 7、两个单位向量 ， 的夹角为 ，则 （ ）A. B. C. D. 8、已知函数 的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，则当时， 的最大值和单调区间分别为（ ）A. 1， B. 1， C.
3、 ， D. ，9、设 ,abc均为正数，且 13loga， 13logb， 3logc. 则（ ）A. B. b C. ca D. 10、两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为 和 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）A B C D- 3 -11、圆 C的圆心在 y轴正半轴上，且与 x轴相切，被双曲线213yx的渐近线截得的弦长为 3，则圆 的方程为（）A. 221xy B. 223xyC. 2 D. 22412、设 32fxbcxd，又 k是一个常数，已知 0k或 4时， 0k只有一个实根，当 04时， fx有三个相异实根，给出下列命题：
4、 4fx和 fx有一个相同的实根； 0和 有一个相同的实根； 3fx的任一实根大于 10fx的任一实根； 5的任一实根小于 2的任一实根其中正确命题的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13、已知正数 满足 的最小值是_14、21xd的值为_.15、当圆 2:4630Cyx的圆心到直线 :10lmxy的距离最大时， m_16、已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 231ABCSa则使得sin2B+sin2C=msinBsinC 成立的实数 m 的最大值是 _ - 4 -三、解答题（共 70 分）17（10 分）
5、 、设ABC 的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c向量 3mab， ，sincoB，且 m（1）求 A 的大小；（2）若 64n，求 cosC的值18（12 分）设数列 的前 项和为 ，满足 ，又数列 为等差数列，且nanS12naSnb， .109b2346b（1）求数列 的通项公式；na（2）记 ，求数列 的前 项和 .12nncbncnT19（12 分）如图，在菱形 中， ， 平面 ， ， 是线ABCD3EDABCEFDB M段 的中点， .AE12EF（1）证明： 平面 ；DM CEF（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.20（12 分） 、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的
6、生产情况，随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为 495,0，50,49， 51,0，由此得到样本的频率分布直方图，如右图所示- 5 -（1）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量（2）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y为重量超过 505 克的产品数量，求 Y的分布列（3）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率21.（本小题满分 12 分）已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 是椭圆 的右焦点，0,2A2:10xyEab32FE直线 的斜率为 ， 为坐标原点F3O（1）求 的方程E（2）
7、设过点 的动直线 与 相交于 两点，当 面积最大时，求 的方程AlE,PQOP:l22（12 分） 、已知函数 214lnfxax,其中 a为正实数(1)若函数 yf在 1处的切线斜率为 2，求 的值；(2)求函数 x的单调区间；(3)若函数 yf有两个极值点 12,x，求证： 126lnfxfa理科数学参考答案一、单项选择1、 【答案】C【解析】集合 M0，x，N1,2，若 MN2，则 2x.所以 0,12 .故选 C.- 6 -2、 【答案】C【解析】 1iz 2i,所以虚部为 1,选 C.3、 【答案】A【解析】设表中有一个模糊看不清数据为 m由表中数据得： 30x， 3075my，由于
8、由最小二乘法求得回归方程 0.6854.yx将 x， y代入回归直线方程4、 【答案】B【解析】a 1a 510，a 47， ？d25、 【答案】C【解析】分析：几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为4 的正方形，侧棱长是 3，下面是一个圆柱，底面直径是 4，母线长是 x，写出几何体的体积，得到关于 x 的方程，解出结果：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为 4 的正方形，侧棱长是 3，根据直角三角形勾股定理知圆锥的高是 32= 5下面是一个圆柱，底面直径是 4，母线长是 x，几何体的体积为 ，4x+ 13(2 2)2 5=
9、 ，x=3，6、 【答案】A【解析】因为 12x时, 0y,所以舍 B,C;xye 当 时, y; 当 12x时, 0y;因此选 A.7、 【答案】D- 7 -【解析】两个单位向量 ， 的夹角为 , 则 代入得到 .故答案为： .8、 【答案】D【解析】 ，相邻两对称轴间的距离为 ，所以 .，其增区间为： ， ，故在 上，减区间为 ，增区间为 ，故当 时， 取得最大值为 .考点：三角函数图象与性质.【思路点晴】函数 的图象的相邻两对称轴间的距离为 ，也就是半个周期为 ，周期为 ，由此求得 . 的增区间的求法就是代入，解出 ，令 可知增区间为 ，同时可求得减区间为 ，故当 时， 取得最大值为 .
10、9、 【答案】D【解析】因为 0a 所以 13loga,可得 103a ；因为 0b 所以13logb（ ）,可得 b ；因为 c 所以 3logc（ ） ,可得 1c,所以ac，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质与对数函数的性质以及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间， ,01, ） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问- 8 -题也可以两种方法综合应用.10、 【答案】B【解析】解：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A，即仅第一个实习生加工一等品（A 1）与仅第二个实习生加工一等品（A 2
11、）两种情况，则 P（A）=P（A 1）+P（A 2）= ，故选 B11、 【答案】A【解析】设圆 C 的方程为 x2+(y？a) 2=a2(a0)，圆心坐标为(0,a)，双曲线213yx的渐近线方程为 3yx，圆被双曲线的渐近线截得的弦长为 3，22a，a=1，圆 C 的方程为 x2+(y？1) 2=1.本题选择 A 选项.12、 【答案】A【解析】根据三次函数 32fxbcxd，满足对 k是一个常数，当 0k或 4时，0fxk只有一个实根，当 04k时， 0f有三个相异实根这样的条件，满足画出函数 fx的模拟图象如图：32fxbcxd,当 04k或 时， 0fk只有一个实数根；当 时， x有
12、三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小- 9 -值为 0，极大值为 4，故 fx 与 0fx有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确.与 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；30fx有一实根且函数最小的零点，1有 3 个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误；5fx有一实根且小于函数最小零点，20有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；所以 A 选项正确.二、填空题13、 【答案】【解析】因为 ，所以由题设只要求 的最大值即可。画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线 经过点 时，在 上的截距最大，且 ， ，应填答案 。14、 【答案】 3ln2- 1
13、0 -【解析】21xd221ln| 4l03ln2x15、 【答案】 34【解析】 圆 C的方程为 24630xy圆 的标准方程为 21，其圆心 2,3C直线 l的方程为 0mxy直线 过定点 1,A圆心到直线 :lxy的距离最大为圆心 C与点 1,A之间的距离 1lACk，即 312m 34故答案为16、 【答案】4【解析】sin 2B+sin2C=msinBsinC，b 2+c2=bcm， bcm， 231sinABCSabA: ， 26sic，cosA= 2223sinbamAcbc，m=2cosA+2 3sinA=4sin（A+ 6） ，当 sin（A+ 6）=1 即 A= 时，m 取
14、得最大值 4.故答案为 4.- 11 -三、解答题17、 【答案】 （1） 3A；（2） cosC6148试题分析：（1）通过已知及平面向量数量积的坐标运算可得 sin3cos0,aBbA利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求 tanA 的值，结合特殊角的三角函数值即可得解 A 的值（2）由（1） 1sin,2B又 64n，解得 2sin4B. 14cos通过cosCA可得解.试题解析：（1）因为 mn，所以 0，即 sin3cos0abA由正弦定理得， siabB，所以 sin3coAA在ABC 中， 0， ， sin0，所以 sin3cosA若 cos，则 i，矛盾若 A，则 sita3
15、coA在ABC 中， 0， ，所以 （2）由（1）知， 3，所以 1sin2B， 因为 64n，所以 26sin4解得 siB（负值已舍） 因为 21in4，所以 06B或 5在ABC 中，又 3A，故 ，所以 cos0- 12 -因为 22sinco1B，所以 14cosB从而 sCAcoin143226818（1）设 nb的公差为 d，则 1936bd 10d nb 当 1时， 12aS， 12a当 n时， 112nnnna 1na a（2）由（1）知 1,2nb， 12ncn 12 3nnTcc 21n19 解：（1）证明：因为 ， 平面 ，所以 平面 .DOEF CEFDO CEF设
16、与 的交点为 ，连接 .ACBM因为 是线段 的中点，所以 是 的中位线，所以 .MAEMOACE MOEC- 13 -又 ，所以 平面MOCEFO CEF所以，平面 平面 .D故 平面 .（2）方法 1：因为四边形 是菱形，所以 .ABABD又因为 平面 ， 平面 ，所以 .且 ，所以ECCECBD平面 .ACDF设 ，则 到平面 的距离 .2BE3AO因为点 是线段 的中点，所以 到平面 的距离 .MAMDEF132hAO在 中， ， ，所以 .RTED 1252设直线 与平面 所成角为 ，则 .MEF315sin2hDM故直线 与平面 所成角的正弦值为 .D15方法 2：取 的中点为 ，
17、连接 ，则 .ABGGC以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.取DDGCExyz，则 ， ， ， .2B0，312M，01312F，所以 ， .1DEF，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，解得 .Fnxyz，0nDEF3102zxyz03zyx- 14 -可取法向量 .130n，又 ，则312DM， 3152cosDMn，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .EF1520、 【答案】 （1）根据频率分步直方图可知，重量超过 505 克的产品数量为(0.5)4012（件） 4 分（2） Y的可能取值为 0，1，2 5 分284063()CP128406()3CPY21
18、40()Y 8 分Y的分布列为 9 分（3）利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 03令 为任取的 5 件产品中重量超过 505 克的产品数量，则 (,0.)B:，故所求概率为：235(.7)0.8PC 12 分21 解：（1）设 ,Fc23AFkc3cY0 1 2P6350- 15 -32cea23ca221bac:14xEy（2）设直线 ， :2PQkx12,PyQx联立方程可得： ，整理后可得：2244yk，因为方程有两个不等实根241610kxk解得： 或 224832k1OPQPSd:2k22211124kxkxx由方程 可得：4160x代入 可得：122,4
19、1xkkPQ22268431kPQ 22221 41 3OPSkkk:2243k由均值不等式可得： 22 244433kk等号成立条件： 22 7k此时1OPQS:7k- 16 -的方程为 或l72yx72yx22、 【答案】(1)1(2)单调减区间为 0,4a, 4,a,单调减区间为24,a （3）见解析试题分析：（1）根据导数几何意义得 12f，解得 的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得 12124,xxa，再化简 12fxf，进而化简所证不等式为lnl0a，最后利用导函数求函数 lnl2gxx单调性，进而确定最小值，证得
20、结论试题解析：(1)因为 214lnfxax，所以 4afx，则 132fa,所以 的值为 1.(2)24xfx，函数 yfx的定义域为 0,，1若 60a,即 ,则 0f,此时 f的单调减区间为 ,;2若 4,即 4,则 x的两根为 24a,此时 fx的单调减区间为 2a, ,单调减区间为 2,a(3)由(2)知，当 04时，函数 yfx有两个极值点 12,x,且 12124,xa因为 212112ln4lnfxfxa24la26ln44la要证 126lnfxf,只需证 ln20a构造函数 2gx，则 1lngxx，- 17 -gx在 0,4上单调递增,又 110,2ln0gg ,且 gx在定义域上不间断,由零点存在定理，可知 x在 ,上唯一实根 0x,且 0l则 gx在 0,上递减, 0,4上递增,所以 g的最小值为 gx因为 0 000011lnl223xx,当 01,2x时, 05,则 0g,所以 0gx恒成立所以 lnla,所以 126lnfxfa，得证
