1、12.7.4 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性问题考题预测精准猜押一、选择题1.在直线 y=-2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x2=4y 的切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 恒过的点的坐标为 ( )A.(0,1) B.(0,2)C.(2,0) D.(1,0)【解析】选 B.设 Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为 y= x2,则 y= x,则在点 A12处的切线方程为 y-y1= x1(x-x1),化简得 y= x1x-y1,12 12同理,在点 B 处的切线方程为 y= x2x-y2,12又点 Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,代入得-2=
2、x1t-y1,-2= x2t-y2,12 12这说明 A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2= xt-y,12则直线 AB 的方程为 y-2= tx,直线 AB 恒过点(0,2).122.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= |AF|,则AFK 的面积为 ( )A.4 B.8 C.16 D.32【解析】选 B.因为抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,所以 K(-2,0),设 A(x0,y0),过点 A 向准线作垂线 AB,垂足为 B,则 B(-2,y0),因为|AK|= |AF|,又|AF|
3、=|AB|=x 0-(-2)=x0+2,所以由|BK| 2=|AK|2-|AB|2,则 =(x0+2)2,20即 8x0=(x0+2)2,解得 A(2,4),2所以AFK 的面积为 |KF|y0= 44=8.12 123.已知 F1,F2分别为双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点 ,若双曲线 C 右支上一点 P2222满足|PF 1|=3|PF2|且 =a2,则双曲线 C 的离心率为 ( )A.3 B. C.2 D.【解析】选 D.设|PF 2|=t,则|PF 1|=3t,所以 3t-t=2a,所以 t=a,由余弦定理可得 cosF 1PF2= = ,因为 =a2,所以92+2-4
4、223 52-22323aa =a2,所以 c= a,所以 e= .52-22324.直线 l:x-y+m=0 与椭圆 x2+ =1 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,则 m 为22( )A.3 B.-3 C.3 D.不存在【解析】选 D.设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),联立直线 y=x+m 与椭圆的方程得,3x2+2mx+m2-2=0,=(2m) 2-43(m2-2)0,即 m20 且 k2+(2k-4)+10,即 k1,且 k-3,且 k1,所以 k1,且 k-3,即直线 l 斜率的取值范围是(-,-3)(-3
5、,1).(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 PA 方程为 y-2= (x-1),1-21-15令 x=0 得 y=- +2,1-21-1即点 M 为(0,- +2),所以 =(0,- +1),又 =(0,-1), = ,1-21-1所以(0,- +1)=(0,-1),1-21-1所以 = -1= , = ,1-21-11-1-11-1 11-11-1-1又点 A(x1,y1)在直线 l:y=kx+1 上,所以 = = = - ,1 1-11-1 1-1同理 = - ,1 1-1由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x 1+x2=- ,x1x2= ,12所以 + = - + - = - = -11 1-1 1-1 2-1 2-1 = - = =2,即 + 为定值 2.1-11+212 2-1 1-1 2-2-1 11
