1、12.7.3 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、最值范围问题考题预测精准猜押一、选择题1.已知椭圆 mx2+4y2=1 的离心率为 ,则实数 m 等于 ( )A.2 B.2 或C.2 或 6 D.2 或 8【解析】选 D.若焦点在 x 轴时,a 2= ,b2= ,根据 e= = = = =22122-22 1222,即 = m=2,焦点在 y 轴时 ,a2= ,b2= ,即 = m=8,所以 m 等于 2 或 8.12 24 14 142.已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1作圆 :x 2+y2=22的切线 l,切点为 M,且直线 l 与双曲线 C 的
2、一个交点 N 满足|NF 1|-24|NF2|=2a,设 O 为坐标原点,若 + =2 ,则双曲线 C 的渐近线方程为( )A.y= x B.y= xC.y= x D.y= x6【解析】选 C.因为 + =2 ,故 - = - ,即 = ,故点 M 为线段 F1N的中点.连接 OM,则 OM 为NF 1F2的中位线,且|OM|= ,OMF 1N,故|NF 2|=2|OM|=a,且F2NF 1N;因为|NF 1|-|NF2|=2a,故点 N 在双曲线 C 的右支上,所以|NF 1|=3a,则在 RtNF 1F22中,由勾股定理可得,|NF 1|2+|NF2|2=|F1F2|2,即(3a) 2+a
3、2=(2c)2,解得 = = , 102 1+22故 = ,故双曲线 C 的渐近线方程为 y= x.3.已知 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,抛物线的准线与 x 轴交于点 E,P 为抛物线上一点,过点 P作 PQ 垂直于抛物线的准线,垂足为 Q,若|PF|=5,则四边形 EFPQ 的面积为 ( )A.14 B.18 C.7 D.14【解析】选 A.因为|PF|=5,根据抛物线的定义可得|PQ|=5,作 PHx 轴于 H,则|FH|=5-2=3,由勾股定理可得|PH|=4,S PFH = 34=6,矩形 EHPQ 的面积为 45=20,所以四边形 EFPQ12的面积=S EFPQ-SPFR =
4、20-6=14.二、填空题4.已知点 P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点 A,B 满足 =2 ,则当 m=_时,点 B 横24坐标的绝对值最大. 【解析】由题意得 =2 ,设 B(x0,y0),则 A(-2x0,3-2y0),即满足方程组204+20=,(-20)24 +(3-20)2=,消元得 4 -(3-2y0)2=3m,解得 y0= ,代入原式得 + =m,化简得 =20 3+4 204 204,所以当 m=5 时点 B 横坐标的绝对值最大 .-(-5)2+1616答案:535.已知双曲线 C: - =1 的右焦点为 F,过点 F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为 M,22交
5、另一条渐近线于 N,若 2 = ,则双曲线的离心率 e=_. 【解析】如图所示渐近线 OM 的方程为 bx+ay=0,右焦点为 F(c,0),因此|FM|= =b,过点 F 向 ON 作垂线,垂足为 P,则|FP|=|FM|=b.又因为 2 = ,所以|FN|=2b,在直角三角形 FPN 中,sinFNP= = = ,所以FNP= ,故在直角三角形 OMN 中,MON= ,所以FON= ,所|212 6 3 6以 = ,即 a= b,c= =2b.所以双曲线的离心率为 e= = = .答案:三、解答题6.设椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F,上顶点为 B.已知椭圆的离心率为 ,点 A 的坐
6、2222标为(b,0),且|FB|AB|=6 .(1)求椭圆的方程.(2)设直线 l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为 P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若4= sinAOQ(O 为原点) ,求 k 的值.|【解析】(1)设椭圆的焦距为 2c,由已知得 = ,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b.由已知可得,2259|FB|=a,|AB|= b,由|FB|AB|=6 ,可得 ab=6,从而 a=3,b=2.所以,椭圆的方程为 + =1.2924(2)设点 P 的坐标为(x 1,y1),点 Q 的坐标为(x 2,y2).由已知有 y1y20,故|PQ|sinAOQ=y 1-y2.又因为|AQ|= ,而OAB= ,故|AQ|= y2.2 4由 = sinAOQ,可得 5y1=9y2.|由方程组 消去 x,可得 y1= .易知直线 AB 的方程为 x+y-2=0,=,29+24=1,692+4由方程组 =,+-2=0,消去 x,可得 y2= .由 5y1=9y2,可得 5(k+1)=3 ,两边平方,整理得 56k2-50k+11=0,解得 k= 或 k= .所以,k12 1128的值为 或 .121128
