1、2.2 函数的单调性与最值,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则有:f(x)在区间D上是增函数 ;f(x)在区间D上是减函数 . (2)单调区间的定义:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) ,区间D叫做y=f(x)的 .,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),单调性,单调区间,-4-,知识梳理,双击自测,2.判断函数单调性的方法,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),自左向右上升,自左向右下降,大于
2、,小于,-5-,知识梳理,双击自测,3.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x)m,f(x0)=m,-6-,知识梳理,双击自测,1.下列函数中,在区间(0,+)内单调递减的是( ),答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a的值为( ) A.-2 B.2 C.-6 D.6,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,m1)在2,3上单调递增,则实数m的取值范围为( ) A.(1,36 B.36,+) C.(1,16 D.(1,1636,+),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,A.(-,-2 B.(-,1 C.1,+) D.4
3、,+),答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.如函数y= 分别在(-,0),(0,+)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-,0)(0,+)内单调递减,只能分开写或用“和”连接,不能用“”连接,也不能用“或”连接. 2.单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则. 3.函数的最值有两条重要结论: (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.,-12-,考
4、点一,考点二,考点三,求函数单调区间(考点难度) 【例1】 (1)函数y=loga(x2+2x-3),当x=2时,y0,则此函数的单调递减区间是( ) A.(-,-3) B.(1,+) C.(-,-1) D.(-1,+),答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调递减区间是 .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.函数单调性的四种判断方法: (1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法. 2.复合函数单调性的判断方法: 复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x
5、)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则. 3.用定义法证明函数的单调性基本步骤:取值,作差,变形,定号,结论.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)函数f(x)=lg(-x2+2x)的单调递增区间为 .,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,(2)函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间为 .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,判断与证明函数的单调性(考点难度),【例2】 (1)下列函数既是奇函数,又在区间-1,1上单调递减的是( ) A.f(x)=sin x B.f(x)=-|x+1|,D,不合题意,故A错; 对于函数f(x)=-|x+1|,f(-x)=-|-
6、x+1|-f(x),据此可知函数不是奇函数,不合题意,故B错;,-18-,考点一,考点二,考点三,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)讨论函数f(x)=x+ (a0)在(0,+)上的单调性.,解:(方法一:定义法) 设x1,x2是任意两个正数,且0x1x2,-20-,考点一,考点二,考点三,(方法二:导数法),-21-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.函数单调性的判断可以根据基本函数的单调性和复合函数单调性判断方法(同增异减)判断. 2.用定义法证明函数的单调性基本步骤:取值(任取x1,x2D,且x1x2);作差(f(x1)-f(x2);变形(通常是因式分解和配方);定号(即判断f(x
7、1)-f(x2)的正负);结论(即指出函数f(x)在给定区间D上的单调性). 3.用导数与单调性关系:导数大于0,函数递增;导数小于0,函数递减.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ),答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,(2)设函数f(x)=x+ +ln a为定义在(-,0)(0,+)上的奇函数. 求实数a的值; 判断函数f(x)在区间(1,+)上的单调性,并用定义法加以证明.,-24-,考点一,考点二,考点三,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2). f(x)在区间(1,+)上是增函数.,-25-,考点一,考
8、点二,考点三,函数单调性的应用(考点难度) 考情分析函数的单调性应用广泛,是高考的重点和热点内容,通常有以下几种命题角度: (1)利用函数的单调性比较大小; (2)利用函数的单调性解不等式; (3)利用函数的单调性求参数的值(或范围); (4)利用函数的单调性求解最值(恒成立)问题.,-26-,考点一,考点二,考点三,类型一 利用函数的单调性比较大小 【例3】 (2018江西南昌第二轮复习测试)已知x,yR,且5x+7-y5y+7-x,则( ) A.sin xsin y B.x2y2 C.5x5y,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,类型二 利用函数的单调性解不等式 【例4】 (20
9、17课标高考)函数f(x)在(-,+)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是( ) A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,3,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,类型三 利用函数的单调性求参数的值(或范围) 【例5】 已知函数f(x)=loga(x2-3ax)对任意的x1,x2,-29-,考点一,考点二,考点三,类型四 利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题 【例6】 (2017浙江高考)已知aR,函数f(x)= +a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围是 .,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,方法总
10、结1.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 2.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域. 3.利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. 注意 若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 4.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,然后再由单调性求解.,-31-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知定义在R上的函数y=f(x)在区间(-,0)内单调,
11、系为( ) A.acb B.bca C.bac D.abc,答案,解析,-32-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-33-,考点一,考点二,考点三,(3)若函数f(x)=2x+ (aR)在1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.0,2 B.0,4 C.(-,2 D.(-,4,答案,解析,-34-,考点一,考点二,考点三,(4)已知在(-,1上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x20,t+1,总有|f(x1)-f(x2)|2,则实数t的取值范围为( ),答案,解析,-35-,易错警示判断分段函数的单调性时忽视对分界点的讨论致错【典例】 已知函数f(x)= 是R
12、上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( ) A.(1,+) B.4,8) C.(4,8) D.(1,8) 答案:B,解得4a8.,-36-,答题指导解答本题时,易忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小.解决分段函数的单调性问题时,还有以下几点,在备考中要高度关注: (1)抓住对变量所在区间的讨论; (2)保证各段上同增(减)时,要注意上、下段间端点值间的大小关系; (3)弄清最终结果取并集还是交集.,-37-,对点训练已知f(x)= 在区间(-,+)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( ),答案,解析,-38-,高分策略1.函数的单调区间是定义域的子集,研究函数单调性的方法有:定义法、图象法、导数法等.要注意掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调性. 2.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解. 3.求函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数的单调性在确定函数最值中的应用.,
