1、1考点规范练 48 抛物线基础巩固组1.抛物线 y=-4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )A.- B.- C D1716 1516 .1716 .1516答案 B解析 抛物线方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y=y4 116.设 M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知 -y0=1y0=-116 1516.2.如果点 M(5,3)到抛物线 y=ax2(a0)的准线的距离为 6,那么抛物线的方程是( )A.y=12x2 B.y=12x2或 y=-36x2C.y=-36x2 D.y= x2或 y=- x2112 136答案 D解析 分两类 a0,a0)的焦点弦 A
2、B 的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 的值一定等于y1y2x1x2( )A.-4 B.4 C.p2 D.-p2答案 A解析 若焦点弦 AB x 轴,则 x1=x2= ,则 x1x2= ,y1y2=-p2,则 =-4;p2 p24 y1y2x1x2 若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴,可设 AB:y=k ,(x-p2)联立 y2=2px 得 k2x2-(k2p+2p)x+ =0,p2k24则 x1x2= 又 =2px1, =2px2,p24. y21 y22=4p2x1x2=p4,又 y 1y20),若直线 y=2x 被抛物线 C 所截弦长为 4 ,5则抛物线 C 的方程
3、为( )A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=y2答案 C解析 由 x2=2py,y=2x,得 x=0,y=0或 x=4p,y=8p,即两交点坐标为(0,0)和(4 p,8p),则 =4 ,得 p=1(舍去负值) .4p2+8p2 5故抛物线 C 的方程为 x2=2y.5.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上,且 |AK|= |AF|,则 AFK2的面积为( )A.4 B.8 C.16 D.32答案 B解析 抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F(2,0),准线为 x=-2,K (-2,0).设 A(x0,y0),过点 A
4、向准线作垂线 AB 垂足为 B,则 B(-2,y0).|AK|= |AF|,2又 |AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2, 由 |BK|2=|AK|2-|AB|2,得 =(x0+2)2,即 8x0=(x0+2)2,y20解得 A(2,4).故 AFK 的面积为 |KF|y0|= 44=8.12 126.抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 y2-x2=1 相交于 A,B 两点,若 ABF 为等边三角形,则p= . 答案 2 3解析 y2=2px 的准线为 x=- 由于 ABF 为等边三角形 .p2.因此不妨设 A ,B 又点 A,B 在双曲线 y2-x2=1 上,从而
5、 =1,所以 p=2(-p2,p3) (-p2,- p3). p23-p243.7.已知 F1,F2分别是双曲线 3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点, P 是抛物线 y2=8ax 与双曲线的一个交点,若 |PF1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为 . 答案 x=-23解析 将双曲线方程化为标准方程得 =1,抛物线的准线为 x=-2a,联立 x=3a,即x2a2-y23a2 x2a2-y23a2=1,y2=8ax点 P 的横坐标为 3a.而由 |PF2|=6-a,|PF1|+|PF2|=12,|PF1|-|PF2|=2a|PF 2|=3a+2a=6-a,得 a=1, 抛物线的准线方
6、程为 x=-2.8.若抛物线 y=2x2上两点 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1x2=- ,则实数 m 的值是 . 12答案32解析 由于 A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,故可设直线 AB 方程为 y=-x+n,代入抛物线方程y=2x2得 2x2+x-n=0,由 x1x2=- 得 n=1,设 A,B 中点为 P(x0,y0),则 x0= =- ,y0=-x0+1= ,点( x0,y0)12 x1+x22 14 54在直线 y=x+m 上,代入得 m=32.能力提升组9.(2018 浙江台州二模)已知抛物线 C:y2=2px(p
7、0)的焦点为 F,A 是抛物线上一点,若 A 到 F 的距离是 A 到 y 轴距离的两倍,且 OAF 的面积为 1,O 为坐标原点,则 p 的值为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 不妨设点 A(x0,y0)在第一象限,由题意可知 x0+p2=2x0,S OAF=12p2y0=1,即 x0=p2,y0=4p,A (p2,4p).又 点 A 在抛物线 y2=2px 上, =2p ,即 p4=16.16p2 p2又 p 0,p= 2.故选 B.10.过点(0, -2)的直线交抛物线 y2=16x 于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且 =1,则 OAB(O 为坐标原y21-y
8、22点)的面积为( )A B C D.12 .14 .18 .116答案 D解析 由题意得, =16x1, =16x2,y21 y22=16(x1-x2) , y21-y22 y1-y2x1-x2= 16y1+y24AB :y= x-2,令 y=0,x= ,16y1+y2 y1+y28S= |y1-y2|= |= ,故选 D.12|y1+y28 | 116|y21-y22 11611.(2018 浙江嘉兴一模)过抛物线 C:x2=2y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若抛物线 C在点 B 处的切线的斜率为 1,则 |AF|等于( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A
9、解析 设点 B 的坐标为( x1,y1),因为 y= x2,所以 y=x.12所以 y =x1=1,则 B|x=x1 (1,12).因为 F ,所以直线 l 的方程为 y=(0,12) 12.故 |AF|=|BF|=1.12.(2018 浙江嘉兴调研)已知抛物线 C 的顶点是原点 O,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,经过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 =-12,则抛物线 C 的方程为( )OAOBA.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x答案 C解析 由题意,设抛物线方程为 y2=2px(p0),直线方程为 x=my+ ,联立p2 y2=2px,x=my+
10、p2,消去 x 得 y2-2pmy-p2=0,显然方程有两个不相等的实根 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得 =x1x2+y1y2= +y1y2=m2y1y2+ (y1+y2)+ +y1y2=- p2=-12,解得 p=4(舍负) .OAOB (my1+p2)(my2+p2) pm2 p24 34故抛物线 C 的方程为 y2=8x.13.已知抛物线 y2=4x 的焦点 F,若 A,B 是该抛物线上的点, AFB=90,线段 AB 中点 M 在抛物线的准线上的射影为 N,则 的最大值为( )|MN|AB|A B.1 C D. 2 .22 .12
11、答案 C5解析 设 |AF|=a,|BF|=b,点 A,B 在准线上的射影点分别为 Q,P,连接 AQ,BQ,如图 .由抛物线定义,得 |AF|=|AQ|且 |BF|=|BP|.在梯形 ABPQ 中,根据中位线定理,得 2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由勾股定理得 |AB|2=a2+b2,配方得 |AB|2=(a+b)2-2ab,ab , (a+b2)2 (a+b)2-2ab( a+b)2-2 (a+b)2.(a+b2)2=12得到 |AB| (a+b).22所以 ,即 的最大值为 故选 C.|MN|AB| 12(a+b)22(a+b)= 22 |MN|AB| 22.14.已知点 F
12、为抛物线 x2=4y 的焦点, O 为坐标原点,点 M 是抛物线准线上一动点, A 在抛物线上,且|AF|=2,则 |OA|= ;|MA|+|MO|的最小值是 . 答案 5 13解析 易知 F(0,1).设 A(x,y),由 |AF|=2,得 y+1=2,则 y=1,代入 x2=4y 得 x=2,所以 A(2,1),则|OA|= 5.设 B(0,-2),因点 M 在抛物线准线上,则 |MO|=|MB|,从而 |MA|+|MO|的最小值就是 |MA|+|MB|的最小值 .因为 A,B 为定点,所以 |MA|+|MB|的最小值即为 |AB|= ,故 |MA|+|MO|的最小值是13 13.15.已
13、知 P 为抛物线 C:y2=4x 上的一点, F 为抛物线 C 的焦点,其准线与 x 轴交于点 N,直线 NP 与抛物线交于另一点 Q,且 |PF|=3|QF|,则点 P 坐标为 . 答案 (3,2 )3解析 y 2=4x, 焦点坐标 F(1,0),准线方程 x=-1.过 P,Q 分别作准线的射影分别为 A,B,则由抛物线的定义可知: |PA|=|PF|,|QF|=|BQ|.|PF|= 3|QF|,|AP|= 3|QB|,即 |AN|=3|BN|,P ,Q 的纵坐标满足 yP=3yQ,设 P ,y0,则 Q(y24,y) (y236,y3).N ,Q,P 三点共线, , yy24+1= y3y
14、236+1解得 y2=12,y= 2 ,此时 x= =3,3y24=1246即点 P 坐标为(3, 2 ).316.已知直线 l 经过抛物线 x2=4y 的焦点,且与抛物线交于 A,B 两点,点 O 为坐标原点 .(1)求抛物线准线方程;(2)若 AOB 的面积为 4,求直线 l 的方程 .解 (1)由抛物线 x2=4y 的方程可得焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).设直线 l 的方程为 y=kx+1.联立抛物线方程,化为 x2-4kx-4=0.x 1+x2=4k,x1x2=-4.|AB|= =4(1+k2).1+k216k2+16点 O 到
15、直线 l 的距离 d=11+k2.S OAB= |AB|d= 4(1+k2) =4,12 12 11+k2解得 k2=3,k= 直线 l 的方程为 y= x+1.3. 317.(2018 浙江衢州模拟)已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),2B(x2,y2)(x1x2)两点,且 |AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 + ,求 的值 .OC=OA OB解 (1)直线 AB 的方程是 y=2 ,与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0.由题意知,方程必有两2(x-p2)个不相等的实根 .所以 x1+x2= ,由抛物线定义得5p4|AB|=x1+x2+p= +p=9,5p4所以 p=4,从而抛物线方程为 y2=8x.(2)由于 p=4,则 4x2-5px+p2=0,即 x2-5x+4=0,从而 x1=1,x2=4,于是 y1=-2 ,y2=4 ,2 2从而 A(1,-2 ),B(4,4 ).设 C(x3,y3),2 2则 =(x3,y3)=(1,-2 )+ (4,4 )OC 2 27=(4+ 1,4 -2 ).2 2又 =8x3,即2 (2- 1)2=8(4+ 1),y23 2整理得(2 - 1)2=4+ 1,解得 = 0 或 = 2.
