1、1单元质检三 导数及其应用(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知函数 f(x)=ln x-x,则函数 f(x)的单调递减区间是( )A.(- ,1) B.(0,1)C.(- ,0),(1,+ ) D.(1,+ )答案 D2.曲线 y= 在点( -1,-1)处的切线方程为( )xx+2A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2答案 A3.(2018 全国 1)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f
2、(x)在点(0,0)处的切线方程为( )A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x答案 D解析 因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即 -x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x.由 f(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f(0)=1.故切线方程为 y=x.4.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0C.2 D.4答案 B解析 由条件,知 f(3)=
3、1,k=f(3)=-13.g (x)=f(x)+xf(x),g (3)=f(3)+3f(3)=1+3 =0.故选 B.(-13)25.设点 P 是曲线 y=x3- x+ 上的任意一点,则点 P 处切线倾斜角 的取值范围为( )323A B.0, 2) 56, ) .23, )C D.0, 2) 23, ) .( 2,56答案 C解析 因为 y=3x2- - ,故切线斜率 k - ,3 3 3所以切线倾斜角 的取值范围是 0, 2) 23, ).故答案为 C.6.已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3在点 P(1,1)处的切线互相垂直,则 为( )abA B.- C D.-.23 23
4、.13 13答案 D解析 y=3x2, 点 P(1,1)为曲线 y=x3上一点, 曲线 y=x3在点 P(1,1)处的切线斜率 k=3,由条件知,3 =-1, =- 故答案为 D.ab ab 13.7.已知 f(x)=x3-2x2+x+6,则 f(x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A.4 B.5 C D.254 .132答案 C8.(2017 山西五校联考改编)已知函数 f(x)的导数为 f(x),f(x)不是常数函数,且( x+1)f(x)+xf(x)0,对 x0, + )恒成立,则下列不等式一定成立的是( )A.f(1)0 时,不等式 x2+(1-a)x-
5、aln x2a- a2恒成立,则 a 的取值范围是( )12 32A.0,1)(1, + ) B.(0,+ )C.(- ,0(1, + ) D.(- ,1)(1, + )答案 A解析 不妨令 f(x)= x2+(1-a)x-alnx-2a+ a2,12 323则 f(x)=x+1-a- ,ax=x2+(1-a)x-ax =(x-a)(x+1)x当 a0,f(x)在 x0 时单调递增,当 x0 时 f(x)不恒大于 0,不符合题意;当 a=0 时, f(x)= x2+x 在 x0 时 f(x)0 恒成立;12当 a0 时, f(x)在(0, a)上单调递减,在( a,+ )上单调递增,f(x)m
6、in=f(a)=a2-a-alna=a(a-1-lna),令 g(a)=a-1-lna,g(a)=1- ,g(a)在(0,1)上单调递减,在(1, + )上单调递增,1ag(a)min=g(1)=0,故当 a0 时且 a1 时 f(x)0,综上 a 的取值范围是0,1)(1, + ),故答案为 A.10.若 mR,函数 f(x)=x- -2ln x 有两个极值点 x1,x2(x1 0,m0,得 00,y ;1-m-m21-m 89 89 (0,3227)当 m0,函数是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2,函数 f(x)在区间0,2内的值域是 -2,2.故答案为 y=-3
7、x;-2,2.12.函数 f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值为 6,极小值为 2,则 a= ,f(x)的单调递减区间是 .答案 1 (-1,1)解析 令 f(x)=3x2-3a=0,得 x= a.f(x),f(x)随 x 的变化情况如下表:x(- ,- a)- a(-a, a)a( ,+a )f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值极小值从而 (- a)3-3a(- a)+b=6,( a)3-3a a+b=2. 解得 所以 f(x)的单调递减区间是( -1,1).a=1,b=4,13.(2017 浙江温州调研改编)已知函数 f(x)= x2-ax+ln x,若 a=1,则切线斜率的
8、取值范围为 ,若12函数存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 答案 1,+ ) 2,+ )解析 f (x)= x2-ax+lnx,12f (x)=x-a+1x.a=1 时, f(x)=x+ -11,1x若 f(x)存在垂直于 y 轴的切线,f (x)存在零点, x+ -a=0 有解,1xa=x+ 2(x0).1x14.函数 f(x)=x3-3x 的极小值为 ,在( a,6-a2)上有最小值,则实数 a 的取值范围是 . 答案 -2 -2,1)5解析 令 f(x)=3x2-3=0,得 x=1,且 x=1 为函数的极小值点, f(1)=-2,x=-1 为函数的极大值点 .函数 f
9、(x)在区间( a,6-a2)上,则函数 f(x)极小值点必在区间( a,6-a2)内,即实数 a 满足 a0,f =0,因此 2 -a3 (a3) (a3)3a +1=0,解得 a=3.从而函数 f(x)在 -1,0上单调递增,在0,1上单调递减,所以 f(x)max=f(0)(a3)2=1,f(x)min=f(-1)=-4.故 f(x)max+f(x)min=1-4=-3.17.函数 y=x+2cos x 在区间 上的最大值是 . 0, 2答案 6+ 3解析 y=1-2sinx,令 y=0,且 x ,得 x= ,则 x 时, y0;x 时, y0,1x-1x2=x-1x2h (x)=lnx
10、+ 在1, + )上递增,1x- (a+1) h(1)=1,a -2.19.(15 分)(2017 浙江台州模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 与 x=1 时都取得极值 .23(1)求 a,b 的值与函数 f(x)的单调区间;(2)若对 x -1,2,不等式 f(x)f(2)=2+c.解得 c2.20.(15 分)设函数 f(x)=x2+ax-ln x(aR) .(1)若 a=1,求函数 f(x)的单调区间;(2)若函数 f(x)在区间(0,1上是减函数,求实数 a 的取值范围;(3)过坐标原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,证明:切点的横坐标为 1.(1)解 a=
11、1 时, f(x)=x2+x-lnx(x0),f (x)=2x+1- ,当 x 时, f(x)1x=(2x-1)(x+1)x (0,12) (12,+ )0.f (x)的单调递减区间为 ,单调递增区间为(0,12) (12,+ ).(2)解 f(x)=2x+a- ,f (x)在区间(0,1上是减函数,1xf (x)0 对任意 x(0,1恒成立,即 2x+a- 0 对任意 x(0,1恒成立 .1xa -2x 对任意 x(0,1恒成立,令 g(x)= -2x,1x 1xa g(x)min,易知 g(x)在(0,1上单调递减,g (x)min=g(1)=-1.a -1.(3)证明 设切点为 M(t,
12、f(t),f(x)=2x+a- ,1x切线的斜率 k=2t+a- ,又切线过原点,则 k= ,1t f(t)t=2t+a- ,即 t2+at-lnt=2t2+at-1.f(t)t 1tt 2-1+lnt=0,存在性: t=1 满足方程 t2-1+lnt=0,t= 1 是方程 t2-1+lnt=0 的根 .再证唯一性:设 (t)=t2-1+lnt, (t)=2t+ 0,1t (t)在(0, + )单调递增,且 (1)=0,8 方程 t2-1+lnt=0 有唯一解 .综上,切点的横坐标为 1.21.(15 分)(2017 浙江杭州高三期末)设函数 f(x)=x2+ ,x0,1 .1x+1(1)证明
13、: f(x) x2- x+ ;49 89(2)证明: 6881(29)=7738916881所以 8-8ln 2;(2)若 a3 -4ln 2,证明:对于任意 k0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点 .证明 (1)函数 f(x)的导函数 f(x)= ,12x-1x由 f(x1)=f(x2),得 ,12x1-1x1= 12x2-1x29因为 x1 x2,所以1x1+ 1x2=12.由基本不等式,得 2 ,12 x1x2= x1+ x2 4x1x2因为 x1 x2,所以 x1x2256.由题意得 f(x1)+f(x2)= -lnx1+ -lnx2= -ln(x1x2).x1 x212 x1x2设 g(x)= -lnx,则 g(x)= -4),12 x 14x( x所以x (0,16) 16 (16,+ )g(x) - 0 +g(x) 2-4ln2所以 g(x)在256, + )上单调递增,故 g(x1x2)g(256)=8-8ln2,即 f(x1)+f(x2)8-8ln2.(2)令 m=e-(|a|+k),n= +1,则(|a|+1k )2f(m)-km-a|a|+k-k-a0,f(n)-kn-a0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点 .
