1、3.2 导数与函数的单调性,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,函数的单调性与导数,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是 .,递增,递减,0,0,常数函数,-4-,知识梳理,双击自测,1.当x0时,f(x)=x+ 的单调减区间是( ) A.(2,+) B.(0,2),答案,解析,-5-,知识梳理,双击自测,2.(教材改编)如图所示是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则下列判断中正确的是( )A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数 B.函数f(x)在区间(1,3)上是减函数 C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D.函数f(x)在区间(3,4)上是
2、增函数,答案,解析,-6-,知识梳理,双击自测,3.设f(x)=x-sin x,则f(x)( ) A.既是奇函数又是减函数 B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,4.若0ln x2-ln x1,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f(x)0,f(x)0的解区间,并注意函数f(x)的定义域. 2.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.,-9-,考点一,考点二,考点三,判断或证明函数的单调性(考点难度) 【例1】 (2017
3、浙江杭州四校联考改编)已知函数f(x)=aln(x+1)+ x2-x,其中a为非零实数.讨论函数f(x)的单调性.,-10-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用导数证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)一求.求f(x); (2)二定.确认f(x)在(a,b)内的符号; (3)三结论.作出结论:f(x)0时,f(x)在(a,b)内为增函数;f(x)0时,f(x)在(a,b)内为减函数. 2.研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,-11-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018江西新干第二中学等四校第一次联考)已知函数f(x)=ex(e
4、x-a)-a2x,讨论f(x)的单调性.,解:函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a), 若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增. 若a0,则由f(x)=0得x=ln a. 即当x(-,ln a)时,f(x)0,可得f(x)在(-,ln a)内单调递减,在(ln a,+)内单调递增.,-12-,考点一,考点二,考点三,-13-,考点一,考点二,考点三,求函数单调区间(考点难度) 【例2】 (1)下面为函数y=xsin x+cos x的递增区间的是( ),答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017天津高考改编)
5、设a,bR,|a|1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x),求f(x)的单调区间.,解:f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b, 可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a). 令f(x)=0,解得x=a或x=4-a. 由|a|1,得a4-a. 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:所以,f(x)的单调递增区间为(-,a),(4-a,+),单调递减区间为(a,4-a).,-15-,考点一,考点二,考点三,方法总结求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f(x); (3)在定义域内解不等
6、式f(x)0,得单调递增区间; (4)在定义域内解不等式f(x)0,得单调递减区间.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2018江西南昌第二轮复习测试)已知函数f(x)=(ex-e)ex+ax2,aR,讨论f(x)的单调性.,解:由题意知,f(x)=x(ex+1+2a), 当a0时,ex+1+2a0,故当x(-,0)时,f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增;,数f(x)单调递增,当x(ln(-2a)-1,0)时,f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增;,增,x(0,ln(-2a)-1)时,f(x)=x(ex+1+2a)0,函数f(x)单调递增.,-1
7、7-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的单调性(考点难度) 【例3】 (1)函数f(x)= 的单调递增区间为 ;递减区间是 .,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)已知函数f(x)= mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围为 .,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.根据函数单调性求参数的一般方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解. 2.f(x)为增函数的充
8、要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),函数g(x)=f(x)+6x的图象关于y轴对称,则m= ,f(x)的单调递减区间为 .,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,(2)已知函数f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x(a0). 若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围; 若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求实数a的取值
9、范围.,-22-,考点一,考点二,考点三,由h(x)在1,4上单调递减,得,-23-,思想方法构造函数方法在导数中的应用 在导数问题中,常常会遇到导函数的一些关系式,通过这些关系式的合理变形,我们常常能构造成一个新的函数的导数形式,通过其导数值的正负得出其单调性.,-24-,【典例】 函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+) C.(-,-1) D.(-,+) 答案:B 解析:由f(x)2x+4,得f(x)-2x-40,设F(x)=f(x)-2x-4,则F(x)=f(x)-2,因为f(x)2,所以F(x
10、)0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-40等价于F(x)F(-1),所以x-1,故选B. 答题指导本题中由f(x)-20,想到要解的不等式可以构造函数F(x)=f(x)-2x-4,其导函数恰好为F(x)=f(x)-2.,-25-,答案,解析,-26-,高分策略1.求单调区间应遵循定义域优先的原则. 2.注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 3.在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 4.可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是:对x(a,b),都有f(x)0(f(x)0),且f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.,
