1、1小题专练作业(十六) 导数的简单应用1曲线 ysin xe x在点(0,1)处的切线方程是( )A x3 y30 B x2 y20C2 x y10 D3 x y10解析 ycos xe x，故曲线在点(0,1)处的切线斜率 k2，切线方程为 y2 x1，即 2x y10。故选 C。答案 C2已知函数 f (x) 1， g(x) alnx，若函数 f (x)与 g(x)的图象在 x 处的切x14线平行，则实数 a的值为( )A B14 12C1 D4解析 由题意知，当 x 时两个函数的导数值相等。因为 f ( x) ， g( x)14 12x ，所以 14 a，即 a 。故选 A。ax 14答
2、案 A3(2018沈阳质量监测)设函数 f (x) xex1，则( )A x1 为 f (x)的极大值点B x1 为 f (x)的极小值点C x1 为 f (x)的极大值点D x1 为 f (x)的极小值点解析 由题意得， f ( x)( x1)e x，令 f ( x)0，得 x1，当x(，1)时， f ( x)0，则 f (x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 x1 为 f (x)的极小值点。故选 D。答案 D4若一个四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为 9，当其外接球的体积最小时，它的高为( )A3 B2 2C2 D33 3解析 设底面正
3、方形的边长为 a，四棱锥的高为 h，其外接球的半径为 R，因为2a2h9，所以 a2 ，又因为 R2 2( h R)2，所以 R 。令 f (h)13 27h (2a2) 274h2 h2 ， h0，所以 f ( h) ，可知 f (h)在(0,3)上单调递减，在(3，)274h2 h2 272h3 12上单调递增，所以 f (h)min f (3)，即当 h3 时， R最小，从而其外接球的体积最小。故选 A。答案 A5(2018南昌调研)已知函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，设函数 f (x)的导函数为 f ( x)，若对任意 x0都有 2f (x) xf ( x)0成立，则( )A4
4、 f (2)9 f (3)C2 f (3)3f (2) D3 f (3)0都有 2f (x) xf ( x)0成立，则当 x0时，有 g( x) x(2f (x) xf ( x)0恒成立，即函数 g(x)在(0，)上为增函数，又由函数 f (x)是定义在 R上的偶函数，则f ( x) f (x)，则有 g( x)( x)2f ( x) x2f (x) g(x)，即函数 g(x)也为偶函数，则有 g(2) g(2)，且 g(2)0可得 f (x)在(1，)上递增， f ( x)1， a0可得 f (x)在( ，1)，(ln( a)，)上递增， f ( x)0时， f ( x)0， f (x)单调
5、递增，当11时，不等式( x1)e x1 ax2恒成立，则实数 a的取值范围是_。解析 当 x1时，不等式( x1)e x1 ax2恒成立，所以不等式 a0 恒成立，所以 f ( x)0在(1，)恒成立，所以 f (x)在(1，)上单调递增，所以 f (x)minf (1)1，所以4a1。答案 (，111(2018西安八校联考)曲线 y x3上一点 B处的切线 l交 x轴于点 A， OAB(O为原点)是以 A为顶角的等腰三角形，则切线 l的倾斜角为( )A30 B45C60 D120解析 解法一：因为 y x3，所以 y3 x2。设点 B(x0， x )(x00)，则 kl3 x ，所30 2
6、0以切线 l的方程为 y x 3 x (x x0)。取 y0，则 x x0，所以点 A 。易知线段30 2023 (23x0， 0)OB的垂直平分线方程为 y ，根据线段 OB的垂直平分线过点 A 可x302 1x20(x x02) (23x0， 0)得 ，解得 x ，所以 kl3 x ，故切线 l的倾斜角为 60。故x302 1x20(23x0 x02) 20 33 20 3选 C。解法二：因为 y x3，所以 y3 x2。设点 B(x0， x )(x00)，则 kl3 x ，所以切线30 20l的方程为 y x 3 x (x x0)。取 y0，则 x x0，所以点 A 。由| OA| AB
7、|，30 2023 (23x0， 0)得 x ，又 x00，所以 x ，所以 kl3 x ，故切线 l的倾斜角为 60。4x209 x209 60 20 33 20 3故选 C。答案 C12(2018陕西质检)若函数 f (x) ax x2ln x存在极值，且这些极值的和不小于4ln2，则 a的取值范围为( )A2，) B2 ，)2C2 ，) D4，)3解析 f ( x) a2 x ，因为 f (x)存在极值，所以 f ( x)01x 2x2 ax 1x在(0，)上有根，即 2x2 ax10 在(0，)上有根。记方程 2x2 ax10 的两根为 x1， x2，由根与系数的关系得 x1x2 ，
8、x1 x2 ，易知 a0，方程有两不等正根，由12 a2 0，得 a2 ，所以 f (x1) f (x2)( ax1 x ln x1)( ax2 x ln x2) a(x1 x2)2 21 2( x x )(ln x1ln x2) ln24ln2，所以 a2 。综上， a的取值范21 2a22 (a24 1) 3围为2 ，)。故选 C。3答案 C513(2018四川德阳模拟)方程 f (x) f ( x)的实数根 x0叫做函数 f (x)的“新驻点” ，如果函数 g(x)ln x的“新驻点”为 a，那么 a满足( )A a1 B00，所以 h(x)在(1,2)上有唯一零12 e点，所以 10得
9、xex ex xex ex 2 1 xex01，此时函数 g(x)为减函数，即当x1 时， g(x)取得极大值同时也是最大值 g(1) ，则 的最大值为 ，则由1e g x1f x2 1e2 12e ，得 2ek k1，即 k(2e1)1，则 k 。kk 1 12e 12e 1答案 12e 1， )15(2018东北三校一模)已知函数 f (x) xlnx x2， x0是函数 f (x)的极值点，12给出以下几个命题：0 ； f (x0) x00。1e 1e其中正确的命题是_。(填出所有正确命题的序号)解析 由已知得 f ( x)ln x x1( x0)，不妨令 g(x)ln x x1( x0)，由g( x) 1，当 x(0，)时，有 g( x)0总成立，所以 g(x)在(0，)上单调递1x增，且 g 0，而 x0是函数 f (x)的极值点，所以 f ( x0) g(x0)0，即 g g(x0)，(1e) 1e (1e)6所以 0x0 ，即命题成立，则命题错；因为 lnx0 x010，所以 f (x0)1e x0 x0lnx0 x x0 x0(lnx0 x01) x x 0，故正确，而错。所以填1220 1220 1220。答案
