1、1小题专练作业(六) 三角恒等变换、解三角形1若角 的终边过点 A(2,1)，则 sin ( )(32 )A B255 55C D55 255解析 由题意知 cos ，所以 sin cos 。故选 A。25 255 (32 ) 255答案 A2已知 tan 2，则 sin 2 的值为( )sin cossinA B195 165C D2310 1710解析 解法一：原式 sin 2 sin cossin sin cossin sin2sin2 cos2 ，将 tan 2 代入，得原式 。故选 C。tan 1tan tan2tan2 1 2310解法二：在平面直角坐标系 xOy中，tan 2 ，
2、不妨设 为锐角，角 的顶点与21原点 O重合，始边与 x轴的非负半轴重合，在终边上取点 P(1,2)，则| OP| ，由三角函5数的定义，得 sin ，cos ，所以 sin 2 2 。25 15 sin cossin25 1525 (25) 2310故选 C。答案 C3若角 满足 sin 2cos 0，则 tan2 ( )A B43 34C D34 43解析 解法一：由题意知，tan 2，tan2 。故选 D。2tan1 tan2 432解法二：由题意知，sin 2cos ，tan2 。故选sin2cos2 2sin coscos2 sin2 43D。答案 D4(2018全国卷) ABC的内
3、角 A， B， C的对边分别为 a， b， c。若 ABC的面积为 ，则 C( )a2 b2 c24A B2 3C D4 6解析 由题可知 S ABC absinC ，所以 a2 b2 c22 absinC，由余弦定12 a2 b2 c24理 a2 b2 c22 abcosC，所以 sinCcos C。因为 C(0，)，所以 C 。故选 C。4答案 C5(2018河南联考)线段的黄金分割点的定义：若点 C在线段 AB上，且满足AC2 BCAB，则称点 C为线段 AB的黄金分割点。在 ABC中， AB AC， A36，若角B的平分线交边 AC于点 D，则点 D为边 AC的黄金分割点，利用上述结论
4、，可以求出cos36( )A B5 14 5 14C D5 12 5 12解析 不妨设 AB2，利用黄金分割点的定义得 AD 1，易知 A ABD36，5故 AD BD 1。在 ABD中，cos36 。故选5 5 1 2 22 5 1 222 5 1 5 14B。答案 B6(2018陕西调研)在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，已在a， b， c成等比数列，且 cosB ，则 ( )34 1tanA 1tanCA B74 273C D327 477解析 由已知有 b2 ac，cos B ，所以 sinB 。由 b2 ac及正弦定34 1 cos2B 743理得 si
5、n2Bsin AsinC，所以 1tanA 1tanC cosAsinA cosCsinC sinCcosA cosCsinAsinAsinC 。故选 D。sin A CsinAsinC sinBsin2B 477答案 D7(2018洛阳统考)在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a， b， c成等比数列，且 a2 c2 ac bc，则 ( )cbsinBA B32 233C D33 3解析 由题意得 b2 ac， a2 c2 ac bc，故 a2 c2 b2 bc，则cosA 。因为 A(0，)，所以 A 。根据正弦定理有 b2 c2 a22bc bc2bc 12
6、 3 cbsinB，sin 2Bsin AsinC，故 。故选 B。sinCsin2B cbsinB 1sinA 233答案 B8(2018辽宁模拟)若 a(cos x，sin x)， b( ，1)，且 a b，则3tan2x_。解析 由题意得 cosxsin x0，则 tanx ，所以 tan2x 3 32tanx1 tan2x 231 3。3答案 39(2018洛阳统考)已知 sin cos ，则 cos4 _。52解析 由题设有 12sin cos ，所以 sin2 ，所以54 14cos4 12sin 22 1 。18 78答案 7810(2018全国卷) ABC的内角 A， B， C
7、的对边分别为 a， b， c。已知bsinC csinB4 asinBsinC， b2 c2 a28，则 ABC的面积为_。解析 根据题意，结合正弦定理可得 sinBsinCsin CsinB4sin AsinBsinC，即sinA ，结合余弦定理可得 2bccosA8，所以 A为锐角，且 cosA ，从而求得 bc12 324，所以 ABC的面积为 S bcsinA 。833 12 12 833 12 233答案 23311(2018北京高考)若 ABC的面积为 (a2 c2 b2)，且 C为钝角，则34 B_； 的取值范围是_。ca解析 ABC的面积 S acsinB (a2 c2 b2)
8、 2accosB，所以 tanB ，因12 34 34 3为 02，故 的取值范围33 ca sinCsinA sin(23 A)sinA sin23cosA cos23sinAsinA 32tanA 12 ca为(2，)。答案 60 (2，)12在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，若 a2 b， ABC的面积记作S，则下列结论一定成立的是( )A B30 B A2 BC cb，C 错误；三角形面积 S absinC b2sinC b2。故选 D。12答案 D13已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c。若 a bcosC csinB，且ABC的
9、面积为 1 ，则 b的最小值为( )2A2 B3C D.2 3解析 由 a bcosC csinB及正弦定理，得 sinAsin BcosCsin CsinB，即 sin(B C)sin BcosCsin CsinB，得 sinCcosBsin CsinB，又 sinC0，所以 tanB1。因为B(0，)，所以 B 。由 S ABC acsinB1 ，得 ac2 4。又4 12 2 2b2 a2 c22 accosB2 ac ac(2 )(42 ) 4，当且仅当 a c时等号成立，2 2 25所以 b2， b的最小值为 2。故选 A。答案 A14(2018江苏高考)在 ABC中，角 A， B，
10、 C所对的边分别为a， b， c， ABC120， ABC的平分线交 AC于点 D，且 BD1，则 4a c的最小值为_。解析 因为 ABC120， ABC的平分线交 AC于点 D，所以 ABD CBD60，由三角形的面积公式可得 acsin120 asin60 csin60，化简得 ac a c，又12 12 12a0， c0，所以 1，则 4a c(4 a c) 5 52 9，当且1a 1c (1a 1c) ca 4ac ca4ac仅当 c2 a时取等号，故 4a c的最小值为 9。答案 915(2018石家庄模拟)如图，平面四边形 ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB1， BC ， AC CD， AC CD，当 ABC变化时，对角线 BD的最大值为_。2解析 设 ABC ， (0，)，则由余弦定理得 AC232 cos ，由正弦定理2得 ，得 sin ACB 。在 DCB中，由余弦定理可得，1sin ACB ACsin sinACBD2 CD222 CDcos AC222 ACsin ACB32 cos 22 AC2 (2 ACB) 2 2 252 (sin cos )54sin ，当 时， max1，sinAC 2 ( 4) 34 sin( 4)所以 BD 9，所以 BDmax3。2max答案 3
