1、第十一讲 直线与圆,总纲目录,(1)过点(5,2),且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线 方程是 ( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0或2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x+2y-9=0或2x-5y=0 (2)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值 是 ( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2,答案 (1)D (2)C,解析 (1)当直线经过坐标原点时,易得直线方程为y= x,即2x-5y =0;当直线不经过坐标原点时,设直线在y轴上的截距为b(b0),则 直线方程为 + =1,又直线过
2、点(5,2),所以 + =1,解得b= ,故 所求的直线方程是 + =1,即x+2y-9=0. 综上,所求直线方程为2x-5y=0或x+2y-9=0. (2)当k=4时,直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率存在,两直线不平 行.当k4时,两直线平行需满足 =k-3,解得k=3或k=5.经验证 符合题意,故选C.,方法归纳 解决直线方程问题的几个注意点 (1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出 参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性. (2)要注意直线方程每种形式的局限性.点斜式、两点式、斜截式 要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直
3、线, 也不能表示垂直于坐标轴的直线. (3)讨论两直线的位置关系时,要注意直线的斜率是否存在.,1.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为 ( ) A. B. C. D.,答案 B 由l1l2得(a-2)a=13,且a2a36,解得a=-1,l1:x-y+ 6=0,l2:x-y+ =0, l1与l2间的距离d= = .,2.过点P(-2,2)作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三 角形面积为8,这样的直线l一共有 ( ) A.3条 B.2条 C.1条 D.0条,答案 C 由题意可设直线l的方程为 + =1(a0),则解得-a=b=
4、4,故满足条件的直线l一共有1条.,3.已知a0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则 ab的最大值为 ( ) A.0 B.2 C.4 D.,答案 B 解法一:若b=2,则两直线方程分别为y=- x-1和x= ,此 时两直线相交但不垂直;若b=-2,则两直线方程分别为x=- 和y= x- ,此时两直线相交但不垂直;若b2,两直线方程分别为y=-x- 和y=- x+ ,由两直线垂直得,- =-1, 即a2+b2=4,因为a2+b2=42ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab 2,所以ab的最大值为2. 解法二:由两直线垂直,得a2+(b+2)(b-2)=0
5、,即a2+b2=4.因为a2+b2=4 2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以ab的最大值为2.,(1)已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则 圆C的方程为 ( ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 (2)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心 的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC=120,则圆的方程为 . (3)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50 上,若 20,则点P
6、的横坐标的取值范围是 .,答案 (1)B (2)(x+1)2+(y- )2=1 (3)-5 ,1,解析 (1)根据题意设圆心坐标为(a,-a),则 = , 即|a|=|a-2|,解得a=1,故圆心坐标为(1,-1),半径r= = ,故圆的方 程为(x-1)2+(y+1)2=2. (2)由题意知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,如图所示.设圆的圆心坐标为(-1,y0),易知圆的半径为1,y00.因为FAC=120 ,CAO=90,所以FAO=120-90=30,故y0= ,则圆心坐标为,方法归纳 求圆的方程的两种方法 (1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形 结
7、合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程. (2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程 (组),求得各系数,进而求出圆的方程.,1.(2018贵州贵阳模拟)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正半轴分别 交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积为8,则OAB外接圆 的标准方程是 .,答案 (x-2)2+(y-2)2=8,2.若圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为 的点,则实数a 的取值范围是 .,答案 -3,-11,3,解析 圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心(a,a)到原点的距离为 |a|,半径r= 2 . 圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在
8、到原点的距离为 的点, 2 - |a|2 + , 即1|a|3, 解得1a3或-3a-1. 实数a的取值范围是-3,-11,3.,考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系的判断 (1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr相离. (2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,消元 后得到一元二次方程,利用判别式来讨论位置关系:0相交; =0相切;0相离.,2.圆与圆的位置关系的判断 (1)dr1+r2两圆外离; (2)d=r1+r2两圆外切; (3)|r1-r2|dr1+r2两圆相交; (4)d=|r1-r2|(r1r2)两圆内切; (5)0d|r
9、1-r2|(r1r2)两圆内含. 命题角度一:直线与圆相切问题,(2018课标全国,20,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜 率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.,解析 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2). 由 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 因=16k2+160,故x1+x2= . 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)= . 由题设知 =8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此,l的方程为y
10、=x-1.,(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2 =-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0), 则 解得 或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.,命题角度二:直线与圆相交问题在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的 坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题: (1)能否出现ACBC的情况?说明理由; (2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.,解析 (1)不能出现ACBC的情况,理由如下: 设A(x1,0),B(x2,0),则
11、 x1,x2满足x2+mx-2=0, 所以x1x2=-2. 又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为 =- ,所 以不能出现ACBC的情况. (2)证明:BC的中点坐标为 ,可得BC的中垂线方程为y- =x2.由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=- .联立,结合 +mx2-2=0,可得 所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 , 半径r= . 故圆在y轴上截得的弦长为2 =3,即过A,B,C三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.,方法归纳 (1)直线与圆相交涉及弦长问题时,主要依据弦长的一半、弦心 距、半径的关系求解;(2)经过圆内一点且垂直于过这点的半径的 弦最
12、短.,(2018福建福州模拟)抛物线C:y=2x2-4x+a与两坐标轴有三个交点, 其中与y轴的交点为P. (1)若点Q(x,y)(1x4)在C上,求直线PQ斜率的取值范围; (2)证明:经过这三个交点的圆E过定点.,解析 (1)由题意得P(0,a)(a0),Q(x,2x2-4x+a)(10,a2,且a0, 解得x=1 , 故抛物线C与x轴交于A ,B 两点. 故可设圆E的圆心为M(1,t),由|MP|2=|MA|2,得12+(t-a)2= +t2,解得t= + ,则圆E的半径 r=|MP|= . 所以圆E的方程为(x-1)2+ =1+ , 所以圆E的一般方程为x2+y2-2x- y+ =0. 即x2+y2-2x- y+a =0. 由 得 或,故圆E过定点 , . 证法二:P(0,a)(a0),设抛物线C与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B (x2,0),圆E的一般方程为x2+y2+Dx+Fy+G=0(D2+F2-4G0),则 因为x1,x2是方程2x2-4x+a=0,即x2-2x+ =0的两根, 所以 -2x1+ =0, -2x2+ =0, 所以D=-2,G= ,所以F= =- ,所以圆E的一般方程为x2+y2-2x- y+=0,即x2+y2-2x- y+a =0. 由 得 或 故圆E过定点 , .,
