1、119 定积分与微积分基本定理【考点讲解】1、具本目标：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念(2)了解微积分基本定理的含义 考点透析：1.以定积分与微积分基本定理的简单应用计算为主； 2.在计算面积方面的应用.3.备考重点：(1) 掌握微积分基本定理；(2) 会应用微积分基本定理解决简单的面积计算.二、知识概述：1. 定积分的概念与微积分基本定理1定积分的概念在 ()bafxd中， ,ab分别叫做积分下限与积分上限，区间 ab， 叫做积分区间， ()fx叫做被积函数，叫做积分变量， ()fx叫做被积式2定积分的性质(1) (k 为常数)；(2) ；(3) (其中
2、acb)3微积分基本定理：一般地，如果 )fx是在区间 ， 上的连续函数，且 ，那么，这个 结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式其中 ()Fx叫做 ()fx的一个原函数为了方便，常把 记作 ()baFx，即2定积分的几何意义2（1）由直线 x=a， b（ ） ， x轴及一条曲线 ()yfx0)围成的曲边梯形的面积，若 ，则 .（2）推广：由直线 ， a（ ） ， ()yfx和 =g(） （ ）围成的平面图形的面积为.3定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 v v(t)，那么从时刻 t a 到 t b 所经过的路程 s v(t)dt.ba(2)
3、变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x a 移动到 x b 时，力 F(x)所做的功是 W F(x)dx.ba4.温馨提示：1）运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性” ，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分2）利用定积分求平面图形面积的四个步骤画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； 计算定积分，写出答案【真
4、题分析】31.【2015 湖南理 11】 .【答案】 0.2.【2015 陕西理 16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【解析】考点为 1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义建立空间直角坐标系，如图所示：xy原始的最大流量是 ，设抛物线的方程为 2xpy（ 0） ，因为该抛物线过点 5,2，所以 25p，解得 54p，所以 25xy，即 5，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是 16.2403，所以答案应填： 1.2 【答案 】 1.23. 【2015 天津理 1
5、1】曲线 2yx 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为 .4.【答案】 164.【2016九江模拟】若 (2x )dx2( R)，则 等于( )10A0 B1 C2 D1【解析】 (1) (2x )dx( x2 x )| 1 2，所以 1.10 10【答案】B【变式】定积分 |x22 x|dx 等于( )2 2A5 B6 C7 D8【解析】 |x22 x|dx (x22 x)dx (2x x2)dx( x2)| ( x2 )| 44 8.2 2 0 2 20x33 0 2 x33 20 83 83【答案】D6.计算： dx _.31 3 2x x2【解析】由定积分的几何意义知， dx 表示圆
6、( x1) 2 y24 和 x1， x3， y0 围成的图31 3 2x x2形的面积， dx 4.31 3 2x x214【答案】7.【2017青岛月考】由曲线 xy1，直线 y x， y3 所围成的封闭平面 图形的面积为_5【解析】 由 xy1， y3 可得交点坐标为( ，3)13由 xy1， y x 可得交点坐标为(1,1)，由 y x， y3 得交点坐标为(3,3)，由曲线 xy1，直线y x， y3 所围成图形的面积为：(31ln 3)(9 3 )4ln 3.92 12【答案】4ln 3【变式】 （1）定积分 dx 的值为( )30 9 x2A9 B3 C. D. 94 92【答案】
7、C【变式】(2)由曲线 y2 x2，直线 y4 x2，直线 x1 围成的封闭图形的面积为_【解析】由Error!解得 x1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为 (2x24 x2)d x( x32 x22 x)|111 123( 1321 221) (1) 32(1) 22(1) .23 23 163【答案】1638.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇 到紧急情况 而刹车，以速度 v(t)73 t (t 的单位：s， v251 t的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的 距离(单位：m)是( )A125ln 5 B825ln 1136C425ln 5 D450ln 2【答案】 C【模拟考场
8、】1.若 则实数 a 的值为( )A1 B1 C D.3 3【答案】A2.设 f(x)Error!则 dxf20等于( )A. B. C. D.34 45 56 67【解析】 xf20 x2dx (2 x)dx x3| (2 x x2)| (4 4)(2 ) .10 2113 10 12 21 13 12 12 56【答案】C3.一物体在变力 F(x)5 x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与 F(x)成 30方向作直线运动，则由 x1 运动到 x2 时， F(x)做的功为( )A. J B. J C. J D2 J32 33 4 33 3【解析】 ，2143 3 F(x)做的功为 J. 43 3【答案】C4.若 ，则 m_.【解析】根据定积分的几何意义 dx 表示圆( x1) 2 y21 和直线 x2， x m 和 y0m 2 x2 2x7围成的图形的面积，又 dx 为四分之一圆的面积，结合图形知 m1.m 2 x2 2x 4【解析】15.二项式 的展开式的第二项的系数为 23，则 adx2的值为_【答案】3
