1、1第 8 练 数列的综合应用一、单选题1某林厂现在的森林木材存量是 1 800 万 m3，木材以每年 25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量为 x 万 m 3，为达到经两次砍伐后木材存量增加 50%的目标，则 x 的值是( )A 40 B 45C 50 D 55【答案】C【解析】【分析】【详解】经过一次刊发后，木材存量为 ，经过两次砍伐后，木材存量为.由题意有 ，解得 ，故选 .【点睛】本小题主要考查增长和减少同时进行的实际问题，由于题目砍伐的次数只有两次，所以只需要计算两次，按 的增长要求列出方程，可求得 的值.属于中档题. 2已 知 ，我们把使乘积 为整数的数 叫做“优数” ，则在区
2、间（1,2004）内的所有优数的和为 （ ）A 1024 B 2003 C 2026 D 2048【答案】C【解析】试题分析： 为整数，此时 ，为整数，此时 ，以此类推：在区间(1,2004)内的所有优数为 2,6,14,30,1022，通项公式为 ， .考点：1.对数的运算；2.等比数列的前 n 项和公式.23设数列 满足 ， （ ） ，若数 列 是常数列，则 （ ）A B C D 【答案】A考点：1.数列数的概念；2.数列的递推关系.4已知数列 、 满足 ，则数列 的前 10 项的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：由题可知 ，则数列 即为数列 奇数项，则数列 仍为等比数
3、列，其首项为 公比为原数列 公比的平方，则数列 的前 10 项的和为考点：等比数列的性质5已知数列 na满足 1， ，则数列 1na的前 40 项的和为（ ）A 1920 B 32546 C 48 D 201【答案】D【解析】由已知条件得到 ， ，左右两 侧累加得到正好是数列 1na的3前 40 项的和，消去一些项，计算得到 2041。故答案为 D。点睛：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。6已知数列 na
4、满足 12， ，则 =（ ）A - 6 B 6 C -2 D 2【答案】D考点：数列的周期.【方法点晴】本题考查学生的是数列的性质,属于基础题目.根据已知中的数列递推关系式,在现有范围内不好求出数列 na的通项公式,因此可利用一一列举的方法,列出数列中的项,观察其中的规律,从第五项开始,数列具有周期性,即数列每四项的乘积为一个定值 1,又因为 207被 5除余 2,因此只需找出 12a的乘积即可.7已知数列 na满足 ，则 10a（ ）A 1024 B 1023 C 2048 D 2047【答案】B【解析】 an+1=an+2n； an+1an=2n；( a2a1)+(a3a2)+(a10a9
5、)=2+22+29= 912=1022； a10a1=a101=1022； a10=1023.本题选择 B 选项.4点睛：数列的递推关系是给 出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系 求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项8设等差数列 na的前 项和为 nS，已知 ，则下列结论正确的是（ ）A B C D 【答案】D点睛：本题解题关键由题意合理构造函数 f(x)=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确4a+ 2013=2
6、，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解. 12已知甲、乙两个容器，甲容器容量 为 ，装满纯酒精，乙容器容量为 z，其中装有体积为 y的水（,xyz：单位： L）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的 液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略 不计.设经过 *nN次操作之后，乙容器中含有纯酒精 na（单位： L） ，下列关于数列 na的说法正确的是（ ） 5A 当 xya时，数列 n有最大值 2aB 设 ，则数列 nb为递减数列C 对任意的 *nN，始终有
7、nxyazD 对任意的 *，都有 n【答案】D【解析】当 n趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当 xyz时，显然 nxya，当 xyz时，甲容器有剩余，显然 nxya，故 D 正确，A，B 错误，对于 C，可设 ，则 12a，此时 13，C 错误.二、填空题13已知数列 na的各项均为正数， ，若数列 1na的前 n项和为 5，则n【答案】 120考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an1 a nf（n）或 an1 f（n）a n，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通
8、过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用. 614已知数列 满足: ,则 na5a【答案】 25【解析】试题分析：因为 ，所以 ， 是以 为首项，以na为公差的等差数列， ， ，故答案为 1 25考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式15已知数列 其中第一项是02，接下来的两项是10,2，再接下来的三项是210,，依此类推，则 _【答案】 8516已知数列 na满足 ，若 x表示不超过 x的最大整数 ，则7_. 【答案】1【解析】由递推关系可得： ，又 1a，据此可得：数列 1na是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则当 n2 时： ，据此有：很明显： ，则 1.
