1、1第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用知识要点基础练知识点 1 勾股定理逆定理的实际应用1.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰、底及底边上的高,并按顺序记录下数据,量完后,不小心与其他记录的数据记混了,请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据 (B)A.13,10,10 B.13,10,12C.13,12,12 D.13,10,112.一辆汽车从点 A 出发沿正东方向行驶 30 km 到达点 B,然后转向行驶 40 km 到达点 C,最后从点 C 沿 CA 方向直接回到出发点 A.如果汽车从出发到返回共行驶了 120 km,那么 BC 的方向是 (D)A.正东或正西 B.正南C
2、.正北 D.正南或正北知识点 2 勾股数3.下列各组数是勾股数的是 (C)A.6,7,8 B.1, ,23C.7,24,25 D.0.3,0.4,0.54.能与 8,15 组成一组勾股数的数是 17 . 综合能力提升练5.某中学旁边有一块三角形空地,为了保持水土,美化环境,全校师生一起动手,在空地的三条边上栽上了树苗(如图) .已知三边上的树苗数分别为 6,14,13,空地的三个角均有一棵树,且每条边上的树苗间距均为 1 米,那么这块空地的形状为 (C)A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.不能确定6.有一块薄铁皮 ABCD, B=90,各边的尺寸如图所示,若沿对角线 AC 剪开,
3、得到两个三角形铁皮,则 ACD 的形状是 (C)2A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7.我国古代有这样一道数学题:“枯木一根直立地上,高 2 丈,周 3 尺,有葛藤自根缠绕而上,5 周而达其顶 .问葛藤之长几何?”这里 1 丈 =10 尺,葛藤之长指它的最短长度 .解题时,枯木视为圆柱体(如图所示)周 3 尺指圆柱体底面周长 3 尺 .那么葛藤的长是 25 尺 . 8.现有两根木棒的长度分别是 40 cm 和 50 cm,若要钉成一个三角形木架,其中有一个角为直角,则所需木棒的长度的最大值为 10 cm. 419.观察下列勾股数第一组:3 =21+1,4=21(1+1),
4、5=21(1+1)+1;第二组:5 =22+1,12=22(2+1),13=22(2+1)+1;第三组:7 =23+1,24=23(3+1),25=23(3+1)+1;第四组:9 =24+1,40=24(4+1),41=24(4+1)+1;观察以上各组勾股数的组成特点,第 7 组勾股数是 15,112,113 .(只填数,不填等式) 10.如图,某港口位于东西方向的海岸线上 .“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿固定方向航行,“远航”号每小时航行 16 海里,“海天”号每小时航行 12 海里,它们离开港口 1.5 小时后相距 30 海里 .如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海
5、天”号沿哪个方向航行吗?解:根据题意,得 PQ=161.5=24 海里, PR=121.5=18 海里, QR=30 海里,3 242+182=302,即 PQ2+PR2=QR2, QPR=90. “远航号”沿东北方向航行,即 QPS=45, SPR=45,即“海天”号沿西北方向航行 .11.已知三条线段的长分别为 a,a+1,a+2.(1)当 a=3 时,证明这三条线段可以组成一个直角三角形 .(2)若这三条线段可以组成一个三角形,求 a 的取值范围 .解:(1)当 a=3 时, a+1=4,a+2=5, 32+42=52, 这三条线段可以组成一个直角三角形 .(2)根据三角形的三边关系,得
6、 a+a+1a+2,解得 a1.故 a 的取值范围是 a1.12.如图,李叔叔想要检测雕塑底座正面的边 AD 和 BC 是否分别垂直于底边 AB,但他随身只带了有刻度的卷尺 .(1)你能替他想办法完成任务吗?(2)李叔叔量得 AD 长 30 厘米, AB 长 40 厘米, BD 长 50 厘米,则 AD 边垂直于 AB 边吗?解:(1)分别测量 AD,AB,BD,AC,BC 的长,利用勾股定理计算即可 .(2)垂直 .理由:连接 BD. 302+402=502,AD 2+AB2=BD2, ABD 为直角三角形,即 AD AB.13.如图,某开发区有一块四边形空地 ABCD,现计划在空地上种植草
7、皮,经测量, B=90,AB=20 m,BC=15 m,CD=7 m,AD=24 m.若每平方米草皮需要 200 元,则种植这片草皮需要多少元?4解:连接 AC. B=90,AB=20 m,BC=15 m,AC= =25 m.AB2+BC2= 202+152AC= 25 m,CD=7 m,AD=24 m,AD 2+DC2=AC2, ACD 是直角三角形,且 ADC=90,S ABC= ABBC= 2015=150 m2,12 12S ACD= CDAD= 724=84 m2,12 12S 四边形 ABCD=S ABC+S ACD=234 m2. 种植这片草皮需要 234200=46800 元
8、.拓展探究突破练14.我们把满足方程 x2+y2=z2的正整数的解( x,y,z)叫做勾股数,如(3,4,5)就是一组勾股数 .(1)请你再写出两组勾股数;(2)在研究勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果 n 表示大于 1 的整数, x=2n,y=n2-1,z=n2+1,那么以 x,y,z 为三边的三角形为直角三角形(即 x,y,z 为勾股数),请你加以证明 .解:(1)(5,12,13),(8,15,17) .(答案不唯一,合理即可)(2)x2+y2=(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1=n4+2n2+1=(n2+1)2=z2,即以 x,y,z 为三边的三角形为直角三角形(即 x,y,z 为勾股数) .
