1、1小专题(四) 中点四边形问题顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形 .根据三角形中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原来四边形面积的一半 .如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质 .类型 1 判断中点四边形的形状1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是 (C)A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.正方形2.如图, E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点 .(1)判断四边形 EFGH 的形状,并说明你的理由;(2)连接 BD 和 AC,当 BD,AC 满足何条件时,四边形 EFGH 是
2、正方形 .解:(1)四边形 EFGH 是平行四边形 .理由:连接 AC.E ,F 分别是 AB,BC 的中点,EF AC,且 EF= AC.12同理, HG AC,且 HG= AC,12EF HG,且 EF=HG, 四边形 EFGH 是平行四边形 .(2)当 BD=AC,且 BD AC 时,四边形 EFGH 是正方形 .理由:连接 AC,BD.E ,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,EF=GH= AC,GH=FG= BD,EH BD,GH AC.12 12BD=AC ,BD AC,EH=EF=FG=GH ,EH GH, 四边形 EFGH 是菱形,且 EHG=90,2 菱形
3、EFGH 是正方形 .类型 2 探求中点四边形的性质3.如图,在四边形 ABCD 中, E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点,对角线 AC=3,BD=2,则四边形 EFGH 的周长为 (B)A.4 B.5 C.6 D.74.如图,在四边形 ABCD 中, AC=BD=6,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点,则 EG2+FH2的值为(C)A.9 B.18 C.36 D.485.如图, O 是 ABC 内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC 的中点 D,E,F,G 依次连接,得到四边形 DEFG.(1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形;(
4、2)若 M 为 EF 的中点, OM=5, OBC 和 OCB 互余,求 DG 的长度 .解:(1) 边 AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,DG BC,EF BC,DG= BC,EF= BC,12 12DG EF,DG=EF, 四边形 DEFG 是平行四边形 .(2) OBC 和 OCB 互余, OBC+ OCB=90, BOC=90.M 为 EF 的中点, OM= EF,12OM= 5,DG=EF,3DG=EF= 2OM=10.类型 3 计算中点四边形的面积6.两个直角三角板 ABD 和 BDC 按照如图的方式拼成一个四边形 ABCD, A=45, DBC=30,AB=6
5、,E,F,G,H 分别是各边中点,则四边形 EFGH 的面积等于 9+3 . 37.若菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm,则顺次连接这个菱形四条边的中点所得的四边形的面积是 60 cm2. 8.如图,四边形 ABCD 中, E,F,G,H 依次是各边的中点, O 是四边形 ABCD 内一点,若四边形AEOH、四边形 BFOE、四边形 CGOF 的面积分别为 4,5,7,求四边形 DHOG 面积 .解:连接 OC,OB,OA,OD.E ,F,G,H 依次是各边中点, AOE 和 BOE 等底等高,S OAE=S OBE,同理可证, S OBF=S OCF,S ODG=S OCG,S ODH=S OAH,S 四边形 AEOH+S 四边形 CGOF=S 四边形 DHOG+S 四边形 BFOE,S 四边形 AEOH=4,S 四边形 BFOE=5,S 四边形 CGOF=7, 4+7=5+S 四边形 DHOG,S 四边形 DHOG=6.
