1、13.4 基本不等式1重要不等式： a2 b22 ab(a， b R)一般地，对于任意实数 a， b，有 a2 b22 ab，当且仅当_时，等号成立2基本不等式如果 a0， b0，那么 ，当且仅当_时，等号成立其中， 叫做正数 a， b 的算术平均数， 叫做正数 a， b 的几何平均数因此基本不等式也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3基本不等式的证明（1）代数法：方法一 因为 a0， b0，所以我们可以用 ， 分别代替重要不等式中的 a， b，得 ，当且仅当 时，等号成立即 ( a0， b0)，当且仅当 a b 时，等号成立方法二 因为 ，所以 ，即 ，所以 方法三 要证
2、，只要证 ，即证 ，即证，显然 总是成立的，当且仅当 a b 时，等号成立（2）几何法：如图， AB 是圆的直径， C 是 AB 上一点， AC a， BC b，过点 C 作垂直于AB 的弦 DE，连接 AD， BD易证 ，则 CD2 CACB，即CD_这个圆的半径为 ，显然它大于或等于 CD，即 ，当且仅当点 C 与圆心重合，即 a b 时，等号成立2由此我们可得 的几何意义：半径不小于半弦4重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式（1） (a， b 同号)； (a， b 异号)（2） (a0)； (a0)（3） (a0， b0)； (a0， b0)（4） ， ，4 ab a2 b22
3、 ab，2( a2 b2)( a b)2（5） （6） 为正实数，且5均值不等式链若 a0， b0，则 ，当且仅当 a b 时，等号成立其中 和 分别叫做 a， b 的调和平均数和平方平均数6最值定理已知 x0， y0，则3若 x y 为定值 s，则当且仅当 x y 时，积 xy 有最大值 (简记：和定积最大)；若 xy 为定值 t，则当且仅当 x y 时，和 x y 有最小值 (简记：积定和最小)K 知识参考答案：1 a b 2 a b 3K重点 重要不等式，基本不等式的公式、证明、几何解释、变形及推广K难点 均值不等式链的应用、利用基本不等式求最值、不等式的证明K易错 忽略等号成立的条件、
4、等号成立的一致性导致错误利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件（1）设 f(x)ln x，0 a b，若 p f( )，q ， r (f(a) f(b)，则下列关系式中正确的是A q r p B p r q C q r p D p r q（2）给出下列不等式： ； ； ；若 0 a1 b，则 logablog ba2其中正确的是_【答案】（1）B；（2）4方法 2：(特值法)令 a1， b2，则 p f( )ln ， q ln ， r (ln 1ln 2)ln 因为 ，所以 ln ln ，所以 p r q，
5、故选 B（2）当 x0 时， ，当 x0 时， ，所以 ，故不正确，正确；由于 x0，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故不正确；当 时， ， 时， ，故不正确；当 0 a1 b 时， ， ，故 logablog ba2，正确综上，正确【名师点睛】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等一般地，结合所给代数式的特征，将所给条件进行转换（利用基本不等式可将整式和根式相互转化） ，使其中的不等关系明晰即可解决问题利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路：先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能5直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之
6、达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有其他条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换另外，解题时要时刻注意等号能否取到（1）已知 a0， b0， c0，求证： ；（2）已知 a b， ab2，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为 a0， b0， c0，所以利用基本不等式可得 ， ， ，所以 ，即 ，当且仅当 a b c 时等号成立【名师点睛】对于（1），合理地构造并正确选用基本不等式或其变形式，是证明轮换对称结构的不等式（用 b 换 a， a 换 c， c 换 b 后，代数式不变的式子叫轮换对称式，其特征是a， b， c
7、 的地位一样）的常用思路；对于（2），观察 a b， a2 b2，可联想到通过加减2ab 的方法配凑出( a b)2，从而化为可使用基本不等式的形式，结合 ab2 可使问题得到解决6利用基本不等式求最值（1）直接应用类：此类问题较为基础，注意“一正、二定、三相等”即可（1）已知 f(x) x 2( x0)，则 f(x)有A最大值为 4 B最小值为 4 C最小值为 0 D最大值为 0（2）已知 0 x4，则 x(4 x)取得最大值时 x 的值为A0 B2 C4D16（3）已知函数 f(x) (x0)，若 f(a b)16，则 f(ab)的最大值为_；（4）已知 a， b R，且 ab8，则| a
8、2 b|的最小值是_【答案】（1）D；（2）C；（3）16；（4）8【解析】（1）因为 x0，所以 f(x)( x) 2220，当且仅当 x，即 x1 时取等号故选 D（2）因为 0 x4，所以 4 x0，所以 x(4 x) 4，当且仅当 x4 x，即 x2 时取等号故选 C（3）因为 ，所以 a b4，所以 ， f(ab) 16，故 f(ab)的最大值为 16（4）依题意得 a， b 同号，于是|a2 b| a|2 b| 8，当且仅当| a|2 b|4 时取等号，因此| a2 b|的最小值是 8【名师点睛】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即一正：各项必须为正；二定：
9、各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时条件7是否具备（2）配凑定值类：此类问题一般不能直接使用基本不等式，要从整体上把握进而运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等（1）已知 x0，则函数 y 的最小值为_；（2）若 x1，则函数 y 的最小值为_；（3）若 0 x ，则函数 y x(125 x)的最大值为_【答案】（1）5；（2）3；（3） （3）凑系数：因为 0 x ，所以 y 5x (125 x) ，当且仅当 5x125 x，即 x 时取等号故填 【名师点睛】不论条件怎么变形，都需要根据条件：凑和为定值时求积最大
10、、凑积为定值求和最小（3）条件最值类：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式求解（1）已知 a0， b0， a b1，则 的最小值为_；8（2）已知 a0， b0， 2，则 a b 的最小值为_；（3）若正实数 x， y 满足 x y3 xy，则 xy 的最小值是_；（4）已知 x0， y0， x y xy3，则 x y 的最小值是_【答案】（1）4；（2）2；（3）9；（4）2（3）构造一元二次不等式：由 x0， y0， x y3 xy，得 xy 3，当且仅当x y3 时等号成立，故 30，即 0，由 0解得 3，即 xy9故 xy 的
11、最小值为 9（4）构造一元二次不等式：由 x0， y0， x y xy3，得 xy3( x y) ，当且仅当 x y1 时等号成立，故 ( x y)30，解得 x y2或 x y6(舍去)，故 x y 的最小值是 2【名师点睛】在构造不等式求最值时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用例如，当 a0， b0 时， a2 b22 ab 逆用就是 ab ； 逆用就是 ab等还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通9过相关的关系建立关系式在解题过程中尽量向模型 (a0， b0， x0
12、)上靠拢如图，要规划一个矩形休闲广场，该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪（如图中阴影部分所示） ，且草坪所占面积为 18 000 m2，四周道路的宽度为 10 m，两个草坪之间的道路的宽度为 5 m试问，怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸（单位：m） ，能使矩形休闲广场所占面积最小？【答案】当矩形休闲广场的长为 140 m，宽为 175 m 时，可使休闲广场的面积最小因为 x200，所以 S ，当且仅当 时等号成立，此时有( x20) 214 400，解得 x140，代入 y ，得 y175，即当 x140， y175 时， S 取得最小值 24 500故当矩形休闲广场的长为 140
13、m，宽为 175 m 时，可使休闲广场的面积最小方法 2：设矩形草坪的长为 a m，宽为 b m，则 ab9 000，其中 a0， b0易知矩形休闲广场的长为( a20) m，宽为(2 b25) m故休闲广场的面积 S( a20)(2 b25)2 ab40 b25 a50018 50025 a40 b18 10500 ，当且仅当 25a40 b 时等号成立此时 ，代入 ab9 000 得 a120， b75，即当 a120， b75 时， S 取得最小值24 500故当矩形休闲广场的长为 140 m，宽为 175 m 时，可使休闲广场的面积最小【名师点睛】本题容易出现的思维误区：未能理清草坪边
14、长与休闲广场边长之间的关系；求出目标函数后不会运用基本不等式求最值，缺乏必要的配凑、转化变形能力，从而无法利用基本不等式求最值，或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值忽略等号成立的条件导致错误函数 的最小值为_【错解】 ，所以函数 的最小值为 2【错因分析】错解中使用基本不等式时，等号成立的条件为 ，即1，显然 x21，即等号无法取到，函数 的最小值为 2 是不正确的【名师点睛】（1）利用基本不等式求最值时，必修保证等号能取到才能求出最值，若题设条件中的限制条件或函数的定义域不能使等号成立，则要转换到另一种形式解答，如借助函数单调性等；（2）对于模型 ，当且仅当 x 时等号成立；（3
15、）求11函数 y (a0， b0)在区间(0， c上的最值时，由函数图象易得：若 c ，则当 x 时， y 取得最小值 ；若 c ，则当 x c 时， y 取得最小值ac 忽略等号成立的一致性导致错误若 x0， y0，且 x2 y1，则 的最小值为_【错解】因为 x0， y0，所以 1 x2 y ，即 8xy1，即 xy ，故8因为 ，所以 故 的最小值为 【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式： x2 y ， ，但这两次取“”需满足 x2 y 与 x y，互相矛盾，所以“”不能同时取到，从而导致错误【名师点睛】连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时
16、取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立121已知 ，则 取最大值时 的值为A BC D2若实数 满足 ，则 的最小值是A BC D3若 且 ，则 的最小值是A BC D4若 ，则 的最小值是A BC D5已知 ，则 m， n 之间的大小关系是A m n B m nC m n D不能确定6己知 均为正实数，且直线 与直线 互相垂直，则 的最小值为A B13C D7已知 ， ， ，则 的最小值为A BC D8若正数 ， 满足 ，则 的取值范围为_9已知 ，且 ，则 的最小值是_10若实数 a， b 满足 ，则 的最小值为_11设 ，则函数
17、的最大值为_12已知 a0， b0， ab8，则当 a 的值为_时， 取得最大值13已知 ， 都是正实数，且满足 ，则 的最小值为A BC D14已知 ，且 ，则 的最小值为A BC D15已知不等式 对任意正实数 x， y 恒成立，则正实数 a 的最小值为A8 B614C4 D216若正实数 满足 ，则A 有最大值 4 B 有最小值C 有最大值 D 有最小值17已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值为A BC D18设实数 x， y 满足 ，则 xy 的最大值为A BC12 D1419已知 a0， b0， c0，且 a b c1，则 的最小值为_20在 4 9 60 的两个 中，分别填入一个
18、自然数，使它们的倒数之和最小，则 中应分别填入_和_ 21若 a， b， c0 且( a c)(a b) ，则 2a b c 的最小值为_22已知正实数 ， 满足： ，则 的最大值是_23某校要建一个面积为 平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用15钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个 米的进出口（如下图所示）设矩形的长为 米，钢筋网的总长度为 米（1）列出 与 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？24 （1）求函数 的最小值；（2）已知正数 a， b 和正数 x， y，若 a b10， ，且 x y 的最小值是1
19、8，求 a， b 的值1625已知函数 （1）若 ，试求函数 的最小值；（2）对于任意的 ，不等式 成立，试求 的取值范围26 （2018 天津文理）已知 ， ，且 ，则 的最小值为_27 （2018 江苏）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的平分线交 于点 D，且 ，则 的最小值为_28 （2017 山东理）若 ，且 ，则下列不等式成立的是A BC D1729 （2017 天津文理）若 ， ，则 的最小值为_30（2017 江苏）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 的值是_31
20、 （2017 山东文）若直线 过点（1，2） ，则 的最小值为_181 【答案】B【解析】由题可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立故选 B2 【答案】C【解析】由题可得 故选 C4 【答案】D【解析】 ，故选 D5 【答案】A【解析】因为 a2，所以 a20，所以，当且仅当 a3 时取等号，故 ， 由 b0 得 b20，所以 2 b22，所以 4，即 n4，故 综上可得 m n，故选 A6 【答案】D【解析】由两直线互相垂直可得 ，即 ，则 又为正数，所以19，当且仅当时取等号，故的最小值为 故选 D7 【答案】B【解析】由 ，得 ，则 ，故选 B8 【答案】【解析】由 ，得 ，解得 ，即 1
21、0 【答案】【解析】由 可得 a0， b0，因为 ，所以 ab ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 11 【答案】【解析】 ， ，当且仅当 即 时等号成立，故函数 的最大值为 2012 【答案】4【解析】 ，当且仅当 时取等号，结合 a0， b0， ab8，可得 a4， b213 【答案】C【解析】 ，所以，又 ， 都是正实数，所以 即 的最小值为 ，故选 C14 【答案】B【解析】由题可得，当且仅当 时，等号成立故选 B15 【答案】C【解析】因为 ，当且仅当 时，等号成立要使 对任意正实数 x， y 恒成立，则 ，即 80，解得 或 (舍去)，故 a4，即 a 的最小值为4，故选 C2
22、117 【答案】B【解析】 可变形为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ，则 的最大值为 故选 B18 【答案】A【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，易知当动点在线段 AC 上时 xy 取得最大值，此时 2x y10，故 xy (2xy) ，当且仅当 x ， y5 时取等号，对应点(，5)落在线段 AC 上，故最大值为 19 【答案】922【解析】因为 a0， b0， c0，且 a b c1，所以 3 332229，当且仅当 a b c 时等号成立21 【答案】【解析】由 a， b， c0 及( a c)(a b) ，可得 ( a c)(a b)，当且仅当 b c 时取等号，所以(
23、2 a b c)2 ，即2a b c ，故 2a b c 的最小值为 ，故选 D22 【答案】【解析】 ，由题意得 ，令 ，则23，当且仅当 时，等号成立，即所求最大值为23 【答案】 （1） ；（2）长为 米，宽为 米时，所用的钢筋网的总长度最小24 【答案】 （1）9；（2） 或 【解析】 （1）因为 x1，所以 x10，所以，当且仅当 ，即 x1 时等号成立所以当 x1 时，函数 取得最小值为 924（2） x y ，当且仅当 时等号成立，所以 由 ，解得 或 25 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）依题意得 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立即 ，当 时， 的最小值为 （
24、2） ，要使得 ，不等式 成立，只要 在 上恒成立即可不妨设 ，则只要 在 上恒成立则 即 解得 ， 的取值范围是 【名师点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一25正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得” ，若忽略了某个条件，就会出现错误27 【答案】9【解析】由题意可知 ，由角平分线性质和三角形面积公式得 ，化简得 ， ，因此，当且仅当 时取等号，则 的最小值为 【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” （即条件要求中字母为正数） 、 “定” （不等式的另一边必须为定值） 、 “等” （等号取得
25、的条件）的条件才能应用，否则会出现错误28 【答案】B【解析】因为 ，且 ， 所以，故选 B【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断26【名师点睛】利用均值不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：，当且仅当 时取等号； ， ，当且仅当 时取等号解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1 的妙用” 30 【答案】30【解析】总费用为 ，当且仅当 ，即时等号成立【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误31 【答案】【解析】由直线 过点（1，2）可得 ，所以 当且仅当 ，即 时等号成立【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提条件：“一正” “二定” “三相等” ，在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式
