1、13.3.2 简单的线性规划问题1简单线性规划的有关概念（1）约束条件：由变量 x， y 的不等式(或方程)组成的不等式组称为 x， y 的约束条件例如， 就是一个关于 x， y 的约束条件（2）线性约束条件：约束条件中都是关于变量 x， y 的一次不等式(或一次方程)，这样的不等式组称为 x， y 的线性约束条件例如， 就是一个关于 x， y 的线性约束条件（3）目标函数：把要求最大值或最小值的函数称为目标函数例如，已知 x， y 满足约束条件 ，分 别 确 定 x， y 的 值 ， 使 取 得 最 小 值 ， 取 得 最大 值 ， 其 中 和 均 为 目 标 函 数 （4）线性目标函数：目
2、标函数是关于变量 x， y 的一次解析式的称为线性目标函数例如，上述例子中 是线性目标函数，而 不是线性目标函数（5）线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题（6）可行解：满足线性约束条件的解( x， y)叫做可行解（7）可行域：由所有_组成的集合叫做可行域（8）最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解注：（1）约束条件也可以是方程，线性约束条件也可以是二元一次不等式与二元一次方程的组合，而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合；（2）可行解必须使线性约束条件成立，而可行域是所有可行解构成的平面区域2简单线
3、性规划问题的解法（1）目标函数 z ax by(b0)的几何意义2将目标函数 z ax by 变形为 的形式，它表示斜率为 ，在 y 轴上的截距为 ，并随 z 变化的一组平行直线把直线 ax by0 向上平移时，在 y 轴上的截距 逐渐增大，当 b0 时， z 的值随之_；当 b0 时， z 的值随之_把直线 ax by0 向下平移时，在 y 轴上的截距 逐渐减小，当 b0 时， z 的值随之_；当 b0 时， z 的值随之_（2）线性规划问题的求解方法图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答” ，即： 画：在平面直角坐标系中，画出可行域和
4、直线 ax by0(目标函数为 z ax by)； 移：平行移动直线 ax by0，确定使 z ax by 取得最大值或最小值的点；求：求出使 z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及 z 的最大值或最小值；答：给出正确答案K 知识参考答案：1可行解 2增大 减小 减小 增大K重点 相关概念的理解：（线性）约束条件、 （线性）目标函数、可行域、最优解K难点 简单线性规划问题的实际应用、寻找最优整数解K易错 作图不准确导致错误简单线性规划的有关概念问题（1）在线性规划中，下列命题正确的是A最优解指的是使目标函数取得最大值的变量 x 或 y 的值3B最优解指的是目标函数的最大值或最小值C最优
5、解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域D最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解（2）目标函数 z x y，将其看作直线方程时， z 的意义是A该直线的截距 B该直线的纵截距C该直线的横截距 D该直线纵截距的相反数【答案】（1）D ；（2）D【解析】（1）最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解，即满足线性约束条件的解( x， y)，它是一个有序实数对，ABC 错误，D 正确 （2）目标函数可化为 y x z，从而 z 的意义是该直线纵截距的相反数【名师点睛】熟练掌握相关概念是解决此类问题的关键，注意区分可行域、可行解与最优解求线性目标函数的最值求线性目标函数最值的两种方法：
6、（1）平移直线作出可行域，正确理解 z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移直线得到最优解（2）顶点代入法依约束条件画出可行域，解方程组得出可行域各顶点的坐标，分别计算出各顶点处目标函数 z ax by 的值，经比较后得出 z 的最大（小）值对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的顶点处取得，在求解此类问题时可由此快速找到最大值点或最小值点（1）若变量 x， y 满足约束条件 ，则 z3 x2 y 的最小值为_；（2）若 x， y 满足约束条件 ，则 z3 x y 的最大值为_；（3）如图 1， 及其内部的点组成的集合记为 D， P(x， y)为 D 中任意一点，则z2 x3 y 的最大值
7、为_4图 1 图 2 图 3【答案】（1） ；（2）4；（3）7【解析】（1）作出可行域，如图 2 中阴影部分所示，当直线 经过点 A 时 z取得最小值由 解得 ， ，此时， zmin312 （2）作出不等式组表示的可行域，如图 3 中阴影部分所示，作直线 l0：3 x y0，平移直线 l0，当直线 3x y z 过点(1，1)时， zmax314【名师点睛】 （1）目标函数本质是函数的解析式 z f(x， y)，线性目标函数即关于 x， y的线性组合；（2）线性规划的最优解的个数不确定，只有一组( x， y)使目标函数取得最值时，最优解只有 1 个，如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不
8、与边界平行时，会在某个顶点处取得最值；同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个，如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线重合时，会有多个最优解；可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解线性规划在实际问题中的应用5（1）线性规划的实际问题的类型：给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小常见问题有：物资调运问题：例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格
9、，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小?产品安排问题：例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A， B， C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大?下料问题：例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小?（2）解答线性规划实际应用题的步骤：模型建立正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法；模型求解画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解；模型
10、应用将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案甲、乙两厂生产某种产品，它们可调运的数量分别是 300 吨、750 吨，A、 B、 C 三地需要该产品的数量分别是 200 吨、450 吨、400 吨甲厂运往三地的费用分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨；乙厂运往三地的费用分别是 5 元/吨、9 元/吨、6 元/吨则怎样调运可使总费用最少？【答案】甲厂的产品全运往 B 地，乙厂运往 A、 B、 C 三地的产品分别是 200 吨、150 吨、400 吨时，总费用最少，为 5650 元【解析】设甲厂运往 A、 B、 C 三地的产量分别是 x 吨、 y 吨、(300 x y)吨，则乙厂运
11、往 A、 B、 C 三地的产品分别是(200 x)吨、(450 y)吨、(100 x y)吨，设总费用为 z 元用表格理清关系如下：A 地 B 地 C 地单价 运量 单价 运量 单价 运量可调运数量甲厂 6 x 3 y 5 300 x y 300乙厂 5 200 x 9 450 y 6 100 x y 750需求量 200 450 400 10506依题意可得 ，即 ，目标函数 z6 x3 y5(300 x y)5(200 x)9(450 y)6(100 x y)2 x5 y7150作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线 2x5 y0，并上下平移，由图知，当 2x5 y z7150 过点(0，
12、300)时，目标函数取得最小值， zmin5650故甲厂的产品全运往 B 地，乙厂运往 A、 B、 C 三地的产品分别是 200 吨、150 吨、400 吨时，总费用最少，为 5650 元【名师点睛】（1）在线性规划的应用问题中，题中的条件较多，应认真审题，仔细判断线性约束条件中有无等号，判断未知数 x， y 是否有限制（如 x， y 为正整数、非负数等） ，分清线性约束条件和线性目标函数（线性约束条件一般是不等式组，而目标函数是一个等式） ；（2）图形对解决线性规划问题至关重要，最关键的步骤是通过数形结合完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范（作图中必然会有误差，假如图上的最优解并
13、不明显易辨时，需将几个有可能是最优解的坐标都求出来，然后逐一检验，以确定最优解） 线性规划中的整数解问题已知 x， y 满足不等式组 ，求使 4x3 y 取得最大值的整数 x， y【答案】使 4x3 y 取得最大值的整数 ， 或 ， 7设 4x3 y z(z )，则 z4 3 37 ，取 z37，由 4x3 y37，得 x ，代入约束条件解得 y9， 所以取 y9，而此时 x 非整数，故不成立再取 z36，即 4x3 y36，得 x ，代入约束条件得 y12，取 y7，8，9，10，11，12，分别代入 x ，可知当 x3， y8； x0， y12 时为整数解，经验算得，最优整数解为(3，8)
14、，(0，12)【名师点睛】对于线性规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数时，可用下面的方法求解：（1）平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解；（2）检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解；（3）调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛8选出最优解非线性目标函数的最值问题（1）形如 型的目标函数这是一个两点间的距离的模型，也可视为圆的模型，可化归为求可行域内的点( x， y)与点(a， b)间距离的最值问题常见的类似形式有 或等已知实数 x， y
15、 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】【解析】将目标函数 化为 ，原问题等价于求可行域内的点( x， y)与点(2，0)距离的平方的最小值，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图易得点(2，0)到直线 的距离的平方即为所求， zmin 【名师点睛】此模型借助于两点间的距离公式，利用数形结合思想巧妙求得最值，比较简捷（2）形如 型的目标函数这是一个斜率模型，可先变形为 ，将问题化归为求可行域内的点( x， y)9与点( ， )连线的斜率的 倍的范围或最值等问题常见的类似形式有或 等已知实数 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值是A2 B2C1 D1【答案】D【解析】作出不等式组对应
16、的平面区域如图中阴影部分所示，的几何意义是可行域内的点 P(x， y)与定点 A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当 P 位于点 D(1，0)时，直线 AP 的斜率最小，此时 的最小值为 ，故选 D【名师点睛】斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的因此有必要总结常见模型或其变形形式（3）形如 型的目标函数这是一个点到直线的距离模型，可先变形为 ，将问题化归为求可行域内的点( x， y)到直线 Ax By C0 的距离的 倍的最值问题实数 x， y 满足不等式组 ，则 z| x2 y4|的最大值为_【答案】2110【解析】作出不等式组表
17、示的平面区域，如图中阴影部分所示z| x2 y4| ，其几何含义为可行域内的点到直线 x2 y40 的距离的 倍由 得点 B 的坐标为(7，9)，显然点 B 到直线 x2 y40 的距离最大，此时 zmax 21【名师点睛】认真体会数形结合思想以及目标函数的特征不难发现，无论可行域是线性条件表示的区域，还是非线性条件表示的区域，还是目标函数形式特别，其本质都是在研究二元函数的最值问题，其求解的方法都是数形结合思想线性规划中的参数问题（1）已知 a0， x， y 满足约束条件 ，若 z2 x y 的最小值为 1，则 aA BC1 D2（2）若变量 x， y 满足约束条件 ，且 z2 x y 的最
18、小值为6，则k_；11（3）已知变量 x， y 满足约束条件 ，且有无穷多个点( x， y)使目标函数z x my 取得最小值，则 m_【答案】（1）B；（2）2；（3）1（3）作出线性约束条件表示的平面区域，如图 3 中阴影部分所示， 若 m0，则 z x，目标函数 z x my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若 m0，目标函数 z x my 可看作动直线 ，若 m0，则 0，数形结合可知使 z x my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若 m0，则 0，数形结合可知，当动直线与直线 AB 重合时，有无穷多个点( x， y)在线段 AB 上，使目标函数 z x my 取得最小值
19、，即 1，则 m1图 1 图 2 图 3【名师点睛】（1）对于含有参数的线性规划问题，无论参数是在约束条件中还是在目标函数中，解题的关键是从参数的几何意义入手，数形结合进行求解；（2）最优解不唯一或者有无穷多个，即目标函数所对应的直线与约束条件中二元一次不等式所表示的边界直线重12合1若变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z x2 y 的最大值为A9 B0C9 D152已知 满足 ，则 的最小值是A1 B2C5 D3已知 、 满足 ，且 的最大值是最小值的 倍，则 的值是A BC D4在 中，三个顶点分别为 A(2，4)， B(1，2)， C(1，0)，点 P(x， y)在的内部及其边
20、界上运动，则 y x 的取值范围为A1，3 B3，1C1，3 D3，15已知变量 满足约束条件 则 的最小值是A1 B13C D06设 ，其中实数 满足 ，若 的最大值为 6，则 的最小值为A BC D07已知实数 满足 且数列 为等差数列，则实数 的最大值是_8已知实数 满足 则 的最小值为_9已知 x， y 满足条件 ，求：（1）4 x3y 的最大值；（2） x2+y2的最大值；（3） 的最小值1410制订投资计划时，不仅要考虑可能要获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为 100%和50%，可能的最大亏损率分别为 30%
21、和 10%，投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？11已知实数 x， y 满足 ，如果目标函数 z x y 的最小值为1，则实数 m 等于A7 B5C4 D312若 满足条件 ，当且仅当 时， 取得最大值，则实数 的取值范围是15A BC D13已知 满足约束条件 ，则 的取值范围是A BC D14若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是A BC D15设 、 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 ，则 的最小值为A BC D16已知实数 ， ，且
22、点 在不等式组 表示的平面区域内，则16的取值范围为_， 的取值范围为_17已知 ，则 的最小值为_18若目标函数 z x y 在约束条件 下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是_19已知 x， y 满足约束条件 ，若 z ax y 的最大值为 4，则a_20某企业准备投资 1200 万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下表所示的数据(以班级为单位)：学段 硬件建设(万元) 配备教师数 教师年薪(万元)初中 26/班 2/班 2/人高中 54/班 3/班 2/人因生源和环境等因素，全校总班级至少 20 个班，至多 30 个班（1）请用数学关系式表示上述的限制条件；(
23、设开设初中班 x 个，高中班 y 个)（2）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润 2 万元、3 万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？1721 （2018 天津文理）设变量 ， 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为A BC D22 （2018 新课标全国文）若变量 ， 满足约束条件 ，则的最大值为_23 （2018 浙江）若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_，最大值是_24 （2018 北京文理）若 ， 满足 ，则 的最小值是_25 （2018 新课标全国理）若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_1826 （2018 新课标全国文理）若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值
24、为_27 （2017 新课标全国 II 文理）设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是A BC D28 （2017 天津理）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为A B1C D329 （2017 北京文理）若 满足 ，则 的最大值为A1 B3C5 D930（2017 浙江）若 ， 满足约束条件 ，则 的取值范围是A0，6 B0，4C6， D4，1931（2017 新课标全国 I 文）设 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为A0 B1C2 D332（2017 新课标全国 III 文）设 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是A3,0 B3,2C0,2 D0,333（2017 新课标
25、全国 III 理）若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_34（2017 新课标全国 I 理）设 x， y 满足约束条件 ，则 的最小值为_35 （2016 新课标全国 III 理）若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为_36 （2016 新课标全国 I 文）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙
26、材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元201 【答案】D【解析】不等式组对应的区域为直线 所夹的区域，区域顶点为 ，将其代入目标函数得 的最大值为 15故选 D2 【答案】D【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，由 ，解得 ，代入 ，就可以求得 的最小值为 故选 D4 【答案】C21【解析】先画出三角形区域（如下图） ，然后转化为线性规划问题，求线性目标函数z y x 的取值范围由图易知当 y x z 过点 C 时， z 取得最小值为 011；当 y x z 过点 B 时， z 取得最大值为 2(1)3故 y x 的取值范围是1
27、，3，故选 C5 【答案】C【解析】不等式组对应的可行域为直线 围成的三角形及其内部， 可看作点 连线的斜率，结合图形可知当点 位于直线的交点 时取得最小值 故选 C7 【答案】【解析】因为数列 为等差数列，所以 ，即目标函数为，画出可行域如图所示，由图可知，当直线 过点 时取到最大值，最大值为 228 【答案】4【解析】画出约束条件表示的可行域，如下图中阴影部分所示，令 ，则目标函数 可以看作可行域内点与定点 连线的斜率观察图象可知当定点 与点 A 连线时斜率最小，由 解得则 ，此时目标函数取得最小值 ，所以 的最小值为 49 【答案】 （1）最大值为 13；（2）最大值为 37；（3）最小
28、值为9（2） x2+y2的最大值表示为区域内与原点距离平方的最大值，因此点（1， 6）满足题意，最大值为 3723（3） 表示的为区域内的点与（5，8）连线的斜率，可知过点（ 4，1）取得最小值为910 【答案】投资人用 4 万元投资甲项目，6 万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过 1.8万元的前提下，使可能的盈利最大【解析】设投资人分别用 万元， 万元投资甲、乙两个项目，获得的利润为 z 万元，则 ，由题意知 ，上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分（含边界）即为可行域作直线 ，并作出平行于直线 的一组直线 与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 点，这里 点是直线 和的交点解方
29、程组 得 ， ，此时 （万元） 答：投资人用 4 万元投资甲项目，6 万元投资乙项目，才能确保在亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大2412 【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，因为目标函数 仅在 处取得最大值，所以直线的斜率 需满足 且 ， 故选 C13 【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，目标函数 表示可行域内的点 与定点 连线的斜率，由图可知， ，解方程组得 所以 ，解方程组 得 所以，所以 ，所以 的范围是 ，故选 C14 【答案】B【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由 得 A(1，2)，由 得 B(2，1)，由题意可知，当斜
30、率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两条平行直线间的距离最小，因为 ，所以选 B2515 【答案】C16 【答案】 【解析】由题意得， ，画出不等式组所表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，26作直线 ： ，平移 ，从而可知当 ， 时， ，当 ， 时， ，故 的取值范围是 而的几何意义为点 与原点距离的平方，故取值范围是 17 【答案】【解析】设 ，则 ，所以当 最小时， 取得最小值作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为 表示可行域内的点到坐标原点距离的平方，所以当 位于点 时， 取最小值，由方程组 解得，即 ，所以 ， 的最小值为 18 【答案】(2，) 【解析】先根据 作出
31、如下图中阴影部分所示的平面区域，欲使目标函数z x y 取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线 x y20，当且仅当 n2 时，可行域才包含 x y20 这条直线上的线段 BC 或线段 BC 的一部分19 【答案】227【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，由 z ax y 得 y ax z当 a1，即 a1 时，只能在点 O(0，0)处取最大值， zmax0，与已知矛盾；当 0 a1，即1 a0 时，在点 B(1，1)处取最大值，此时 a14，无解；当 a1，即 a1 时，在点 A(2，0)处取得最大值，此时 2a04， a2；当1 a0，即 0
32、a1 时，在点 B(1，1)处取最大值，此时 a14，无解综上， a220 【答案】 （1）见解析；（2）见解析（2）设年利润为 z 万元，则目标函数为 ，由（1）作出可行域（图略） 由方程组 得 则交点 M(20，10)作直线 ，平移 ，当平移后的直线 过点 M(20，10)时， z 取最大值 70开设 20 个初中班，10 个高中班时，年利润最大，最大利润为 70 万元21 【答案】C【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，28联立直线方程： ，可得点 A 的坐标为 ，所以 故选 C22 【答案】【解析】作出不等式组
33、表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由图可知目标函数在直线 与 的交点 处取得最大值，最大值为 23 【答案】 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，则直线 过点 时 取最大值 ，过点 时 取最小值 【名师点睛】线性规划问题有三类：简单的线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数的取值范围；线性规划的实际应用本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最
34、值取法、值域范围24 【答案】29【解析】不等式可转化为 ，即 ，作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，令 ，由图象可知，当 过点 时， 取最小值，此时 ，故 的最小值为 【名师点睛】此题考查线性规划，求线性目标函数 的最值，当时，直线过可行域在 轴上截距最大时， 值最大，在 轴上截距最小时，值最小；当 时，直线过可行域在 轴上截距最大时， 值最小，在 轴上截距最小时， 值最大25 【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直线过点 时， 取得最大值，由 ，解得 ，此时 26 【答案】9【解析】作出不
35、等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，不等式组表示的可行30域是以为顶点的三角形区域，目标函数 的最大值必在顶点处取得，易知当， 时， 【名师点睛】线性规划问题是高考中的常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等27 【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，目标函数即：，其中 表示斜率为 的直线系与可行域有交点时直线的纵截距，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值， ，故选A【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：准确无误地作出可行域；画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得
