1、13.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域1二元一次不等式(组)及其解集的定义（1）二元一次不等式的定义我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是_的不等式称为二元一次不等式（2）二元一次不等式组的定义我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组（3）二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序数对( x， y)，所有这样的有序数对(x， y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集（4）二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标，于是，二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点
2、构成的集合2二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax By C0 表示直线 Ax By C0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成_，以表示区域不包括边界不等式 Ax By C0 表示的平面区域包括边界，把边界画成_对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域如下表：二元一次不等式Ax By C0(A0， B0)Ax By C0(A0， B0)Ax By C0(A0， B0)Ax By C0(A0， B0)平面区域3二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的_，即各个不等式表示的平面区域的公共部分不等式组表
3、示的平面区域可能是一个多边形区域，也可能是一个无界区域，还可能由几个子区域合成，若不等式组的解集为 ，则2它不表示任何区域K 知识参考答案：11 2虚线 实线 3交集K重点 二元一次不等式(组)解集的定义及表示的平面区域K难点 点所在平面区域的判断K易错 明确不等式中等号的含义及平面区域的判断画二元一次不等式表示的平面区域画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：第一步：直线定界，即画出边界 Ax By C0，要注意是虚线还是实线；第二步：特殊点定域，取某个特殊点( x0， y0)作为测试点，由 Ax0 By0 C 的符号就可以断定 Ax By C0 表示的是直线 Ax By C0 哪一侧的平面区
4、域；第三步，用阴影表示出平面区域对于 Ax By C0(0)表示的平面区域，具体的定域方法如下表：定域的方法特殊点定域在直线的一侧选取一个特殊点，代入不等式，成立则在此侧，不成立则在对面；当 C0 时，常选(0，0)作为特殊点；当 C0 时，常选(0，1)或(1，0)作为特殊点A 的符号判定法 A 的符号与 Ax By C 的符号相比，同右异左系数定域 B 的符号判定法 B 的符号与 Ax By C 的符号相比，同上异下注 ： 由 A 的 符 号 判 断 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 区 域 位 置 可 简 记 为 “同 右 异 左 ”(“同 ”表示 A 的 符 号 与 Ax By
5、C 的 符 号 相 同 )； 由 B 的 符 号 判 断 二 元 一 次 不 等 式 表 示 的 区 域 位置 可 简 记 为 “同 上 异 下 ”（ “同 ”表 示 B 的 符 号 与 Ax By C 的 符 号 相 同 ） 即 只 需 由 A或 B 的 符 号 与 Ax By C 的 符 号 的 异 同 可 直 接 确 定 平 面 区 域 画出下列不等式表示的平面区域：（1） x y；（2）3 x2 y6；（3）5x2 y1003【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）作直线 x y0(画成实线)，取特殊点(1，0)，代入 x y 有 10，故所求区域在点(1，0)所
6、在的区域，即直线 x y0 的右下方，如图 1 中阴影部分所示（2）作直线 3x2 y60(画成虚线)，取特殊点(0，0)，代入 3x2 y6 有60，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线 3x2 y60 的右上方，如图 2 中阴影部分所示（3）作直线 5x2 y100(画成实线)，取特殊点(0，0)，代入 5x2 y10 有100，故所求区域在点(0，0)所在区域的另一侧，即直线 5x2 y100 的右上方(含边界)，如图 3 中阴影部分所示图 1 图 2 图 3【名师点睛】一般情况下，对于不是标准形式的二元一次不等式，要作出它所表示的平面区域，可以先把它化成标准形式(形如 Ax
7、 By C，保证 A0)，再作图画二元一次不等式组表示的平面区域画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤：（1）画线：画出各不等式对应的直线，注意根据不等号的特征确定相应直线是画成虚线还是画成实线 （2）定域：根据特殊点或 x， y 的系数确定各不等式表示的区域，不等式组表示的区域由以上区域的公共部分构成（1）画出不等式组 表示的平面区域；（2）求由直线 x y10，2 x4 y10 和 4x2 y10 围成的三角形区域(包括边界)表示的不等式组【答案】（1）见解析；（2）见解析4（2）画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图 2 中阴影部分所示取原点 O(0，0)，并代入 x y1 得 10
8、；代入 2x4 y1 得 10；代入 4x2 y1 得10结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为 图 1 图 2【名师点睛】（1）要作出不等式组表示的平面区域，可以先画出相应的直线，然后代入特殊点进行验证（2）给出直线方程，要求用不等式组表示它们围成的平面区域，只需在这些直线所围成的区域内(或区域外)任取一点(不在这些直线上)，利用其坐标分别确定相应的不等式，进而得到相应的不等式组（1）画出不等式 表示的平面区域；（2）画出不等式 表示的平面区域【答案】（1）见解析；（2）见解析5图 1 图 2【名师点睛】若题设条件涉及的不等式组不是标准的二元一次不等式组，则要先根据相关的运算法则进行转化
9、高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式组，从而画出这些不等式组表示的平面区域对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式（组），然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域点与平面区域的位置关系（1）判断所给点是否在二元一次不等式所表示的平面区域内，就是将点的坐标代入二元一次不等式若不等式成立，则点在二元一次不等式所表示的平面区域内，否则就不在二元一次不等式所表示的平面区域内（2）由点与平面区域的关系可得：若直线 l： Ax By C 0(A， B 不全为 0)， M(x1， y1)，N(x2
10、， y2)，则当点 M， N 在直线 l 同侧时，( Ax1 By1 C )(Ax2 By2 C)0；当点 M， N 在直线 l 的异侧时，( Ax1 By1 C )(Ax2 By2 C)0上述结论可概括为“同侧同号，异侧异号”（1）若点 P(m，1)到直线 x y10 的距离为 ，且点 P 在不等式2x y30 表示的平面区域内，则 m_；6（2）若不等式| x2 y c|10 表示的平面区域总包含点(1，1)与点(2，3)，则 c 的取值范围是_；（3）若不等式组 表示的平面区域与直线 y a(x1)有公共点，则实数 a的取值范围是_【答案】（1）2；（2）(13，2)；（3） （2）因为
11、不等式| x2 y c|10 表示的平面区域总包含点(1，1)与点(2，3)，所以|12 c|10 且|223 c|10，即|3 c|10 且|8 c|10，即103 c10 且108 c10，即13 c7 且18 c2，即13 c2（3）题中不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分（含边界）所示，且 A(1，1)， B(0，4)， C(0， )，直线 y a(x1)恒过点 P(1，0)，且斜率为 a，由斜率公式可知 ， ，若直线 y a(x1)与图中阴影区域有公共点，结合图形可得 a4【名师点睛】点与平面的位置关系主要有两种：点在区域内、点在区域外7（1）点在区域内：将点的坐标代入不等式，不
12、等式成立；（2）点在区域外：将点的坐标代入不等式，不等式不成立平面区域的面积问题求平面区域面积的步骤：（1）画出不等式组表示的平面区域；（2）判断平面区域的形状（三角形区域是比较简单的情况），求出各边界交点的坐标；（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中涉及距离问题时常常用到点到直线的距离公式（1）不等式组 表示的平面区域的面积是_；（2）若不等式组 表示的平面区域被直线 y kx2 分成面积相等的两部分，则k 的值为_【答案】（1）5；（2） 【解析】（1）原不等式组等价于 或 分别作出以上两个不等式组表示的平面区域，如图 1
13、中阴影部分所示，其中点 A(0，1)， B(2，3)， C(2，1)， D(1，0)， E(1，2)，于是所求面积 （2）显然直线 y kx2 恒过点(0，2)，不等式组表示的平面区域如图 2 中阴影部分所示，易得 A( ， )， B(0，6)， C(0，2)8方法 2：因为不等式组表示的平面区域被直线 y kx2 分成面积相等的两部分，所以点 D 为线段 AB 的中点，即 D( ， )，故直线 y kx2 的斜率等于直线 CD 的斜率，所以 k 图 1 图 2【名师点睛】解决含参的探索问题，关键是回归解析几何的本质特征上来，一方面要抓住平面区域的几何特征，另一方面要把握住直线的特征二元一次不
14、等式组表示平面区域的实际应用用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的步骤：（1）根据问题的需要，选取起关键作用、关联较多的两个量用字母表示；（2）把问题中所有的量都用这两个字母表示出来；（3）由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式；（4）把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可配制 A， B 两种药品，需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药品需甲原料 3 g、乙原料 5 g；配一剂 B 种药品需甲原料 5 g、乙原料 4 g今有甲原料 20 g、乙原料 25 g若 A， B 两种药品至少各配一剂，问共有多少种不同的配制方法?【答案】共有 8 种不
15、同的配制方法9【解析】设 A， B 两种药品分别配 x 剂、 y 剂（ x， y ） 由题意得下表：甲原料 乙原料A 药品 3 g 5 gB 药品 5 g 4 g合计 20 g 25 g则 作出平面区域，如上图中阴影部分所示因为 x， y ，所以区域内的所有整点（横坐标、纵坐标都是整数的点）为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共 8 个，所以在至少各配一剂的情况下，共有 8 种不同的配制方法【名师点睛】（1）由实际问题构建不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏；（2）寻找整数解的方法：先作出不等式（组）表示的平面区域，然后在
16、其内部，取 x（或y）为整数去寻找 y（或 x）的可能整数值来获取整数解忽略等号的含义而出错画出不等式组 表示的平面区域【错解】先画直线 x y30 和 x y30，取点(0，0)，代入 x y3，得30，所以不等式 x y30 表示直线 x y30 左下方的点的集合（包括边界）取点(0，0)，代入 x y3，得30，所以不等式 x y30 表示直线 x y30 左上方的点的集合所以不等式组表示的平面区域如图 1 中阴影部分所示【错因分析】错解中直线 x y30 应画成虚线，且表示的平面区域画错，应为两个不等10式表示的平面区域的公共部分【名师点睛】对于二元一次不等式 Ax By C0(0，0
17、，0)表示的平面区域，一定要明确每一个字母和符号的含义及对所表示的平面区域的影响，否则容易导致错误1不等式 表示的平面区域在直线 的A右上方 B右下方C左上方 D左下方2在平面直角坐标系中，可表示满足不等式 的点 的集合（用阴影部分来表示）的是A B C D3已知点 E(0，0)， F(1，1)， G( ，0)，则在 3x2 y10 表示的平面区域内的点是11A E， F B E， GC F， G D F4在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积为A BC D5在平面直角坐标系中，若点(2， t)在直线 x2 y40 的左上方，则 t 的取值范围是A(，1) B(1，)C1，) D(
18、0，1)6曲线 与直线 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是A BC D7不等式组 表示的平面区域的面积是_8若关于 ， 的不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则实数 的值为_9若不等式组 表示的平面区域是一个三角形区域，则 m 的取值范围为_1210在平面直角坐标系中，画出下列二元一次不等式表示的平面区域：（1） ；（2） ；（3） 1311某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要 和 ，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要 和 又木工、漆工每天工作分别不得超过 和 请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区
19、域12若 为不等式组 表示的平面区域，则当 从 连续变化到 1 时，动直线扫过 中的那部分区域的面积为A BC D13设集合 A( x， y) x， y，1 x y 是三角形的三边长，则 A 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是1414若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是A BC D 或15若函数 图象上存在点 满足约束条件 则实数 的最大值为A BC D16已知不等式组 表示的平面区域为 ，过区域 中的任意一个点 ，作圆 的两条切线且切点分别为 、 ，当 的面积最小时，的值为A BC D1517点 P(a，3)到直线 4x3 y10 的距离等于 4，且在不等式 2x
20、y3 表示的平面区域内，则点 P 的坐标为_18在平面直角坐标系中，不等式组 所表示的平面区域的面积为_19若不等式组 表示的平面区域为 M，则当 a 从2 连续变化到 1 时，动直线x y a0 扫过区域 M 中的那部分区域的面积为_20已知不等式组 表示的平面区域为 ，若直线 与平面区域 有公共点，则 的取值范围是_21 （1）画出不等式组 所表示的平面区域，并求其面积；（2）求不等式组 所表示的平面区域的面积大小1622 （2015 新课标全国 I 理）若 x， y 满足约束条件 ，则 的最大值为_23 （2016 天津文节选）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A， B， C 三种主
21、要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现 有 A 种 原 料 200 吨 ， B 种 原 料 360 吨 ， C 种 原 料 300 吨 ， 在 此 基 础 上 生 产 甲 乙 两种 肥 料 分 别 用 x， y 表 示 生 产 甲 、 乙 两 种 肥 料 的 车 皮 数 用 x， y 列 出 满 足 生 产条 件 的 数 学 关 系 式 ， 并 画 出 相 应 的 平 面 区 域 24 （2017 天津文节选）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次17如下表所
22、示：连续剧播放时长（分钟） 广告播放时长（分钟） 收视人次（万）甲 70 5 60乙 60 5 25已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600 分钟，广告的总播放时间不少于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 ，表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数用 ， 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域181 【答案】B【解析】易知点 在直线的右下方，且点 满足不等式 ，所以不等式表示的平面区域在直线 的右下方故选 B4 【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域为如图所示的三角形 ABC 及其内部可得 ， ，显然三角形 的面积为 故选
23、B5 【答案】B【解析】对于直线 x2 y40，令 x2，则 y1，则点(2，1)在直线x2 y40 上，又点(2， t)在直线 x2 y40 的左上方，则 t1，故选 B6 【答案】A【解析】曲线 与直线 围成一个三角形区域，如下图中阴影部分所示：19所以表示该区域的不等式组是 故选 A7 【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域，如下图中阴影部分所示：所以平面区域的面积 图 1 图 2209 【答案】(0，2( ，) 【解析】不等式组 表示的平面区域如图中阴影部分( 及其内部)所示作直线 l： x y0，将 l 向上平移，当过点 B(2，0)时，原不等式组仍围成一个含点 B的三角形区域，
24、此时 0 m2；将 l 向上平移至过点 A( ， )，当继续向上平移时，原不等式组围成一个含点 A 的三角形区域，此时 m 综上， m 的取值范围为(0，2( ，)10 【答案】见解析【解析】 （1） 表示的平面区域为如图（1）所示的阴影部分(不包括边界)（2） 表示的平面区域为如图（2）所示的阴影部分(包括边界)21（3） 表示直线 下方的区域，如图（3）所示的阴影部分(不包括边界)11 【答案】见解析分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件12 【答案】D【解析】区域 是如图中 及其内部，它的面积为 ，当 从连续
25、变化到 时，动直线 扫过 中的那部分区域为图中四边形 ，22它的面积为 故选 D13 【答案】A【解析】由已知条件可得 且 ，即 且 ，即 ，易得其表示的平面区域如选项 A 中的阴影部分所示14 【答案】D15 【答案】B【解析】由约束条件作出其可行域（如下图中阴影部分所示） ，由图可知当直线23经过函数 的图象与直线 的交点 时 取得最大值，即得，解得 ，即 的最大值为 故选 B16 【答案】B【解析】不等式组 表示的平面区域 为如下图所示的 边界及内部的点，由图可知，当点 在线段 上，且 时， 的面积最小，这时 ，又 ， ，所以 则，所以 ，故选 B18 【答案】24【解析】不等式组表示的
26、平面区域是如图所示的 及其内部，其中 A(0，1)，B(1，2)， C ，其面积等于 19 【答案】【解析】如图所示， M 为 所表示的区域，而动直线 x y a 扫过 M 中的那部分区域为四边形 BOCD，而 B(2，0)， O(0，0)，C(0，1)， D( ， )， E(0，2)， 为直角三角形故20 【答案】【解析】不等式组对应的可行域为直线 围成的三角形区域，顶点为，直线 过定点 ，斜率为 ，当直线过点时斜率取得最大值 ，过点 时斜率取得最小值 ，所以所求范围为 2521 【答案】见解析（2）可将原不等式组分解成如下两个不等式组： 上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面
27、积22 【答案】3【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知， 表示平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知，点 A(1，3)与原点连线的斜率最大，故 的最大值为 32623 【答案】 ，平面区域见解析24 【答案】 ，平面区域见解析【思路分析】根据甲、乙连续剧总的播放时间不多于 600 分钟，可得，根据广告时间不少于 30 分钟，得到 ，根据甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍，可得 ，同时注意 ， 需满足， 这一隐含条件，建立不等式组，画出平面区域【解析】由已知， 满足的数学关系式为 ，即 该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中阴影部分内的整点（包括边界） 27
