1、1精做 02 余弦定理1在 中，已知 sin2Bsin 2Csin 2A sin Asin C，求 B 的度数【答案】 B150【解析】因为 sin2Bsin 2Csin 2A sin Asin C，由正弦定理，得 b2 c2 a2 ac，由余弦定理，得 ，又 0 B180， B1502在 中， BC=a， AC=b，且 a， b 是方程 x22 x2=0 的两根，2cos（ A B）=1（1）求角 C 的度数；（2）求 AB 的长【答案】 （1） ；（2） 3如图所示，已知在四边形 ABCD 中， AD CD， AD10， AB14， BDA60， BCD135，求 BC 的长 2【答案】
2、【解析】设 BD x，在 中，由余弦定理得AB2 AD2 BD22 ADBDcos BDA，即 14210 2 x220xcos60， x210x960， x16（ x6 舍去） ，即 BD16在 中，由正弦定理得 4在 中，若 B60，2 b a c，试判断 的形状【答案】 是正三角形【解析】方法 1：由正弦定理可得 2sin Bsin Asin C， B60， A C120， A120 C，将其代入上式，得 2sin 60sin(120 C)sin C，展开整理，得 Error!sin CError!cos C1，sin( C30)1， C3090 C60，故 A60， 是正三角形方法 2
3、：由余弦定理可得 b2 a2 c22 accos B， B60， ，( a c)20， a c，又 B60， a b c， 为正三角形5 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asinAsinB bcos2A a（1）求 的值；3（2）若 c2 b2 a2，求 B【答案】 （1） ；（2）45【解析】 （1）由正弦定理，得 asinB bsinA，所以 bsin2A bcos2A a，所以 （2）由余弦定理及 c2 b2 a2，可得 由（1）知 b22 a2，故 c2(2 )a2，所以 cos2B 又 cosB0，故 cosB ， B456在 中，内角 A， B， C
4、的对边分别为 a， b， c，且 bsinA acosB（1）求角 B 的大小；（2）若 b3，sin C2sin A，求 a， c 的值【答案】 （1） ；（2） ， 7如图，在 中， ，且 ，4（1）求 的长；（2）已知 在线段 上，且 ，求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）记 ， ，且 ， ，且 ， ，即 在 中， ，解得 ， ，即 （2）依题意， ，又 ，所以 ，故 58设 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 acosC+ c=b（1）求角 A 的大小；（2）若 a= ， b=5，求 c 的值【答案】 （1） ；（2）1 或 4【解析】 （1）在
5、 中，由正弦定理及 acosC+ c=b，可得sinAcosC+ sinC=sinB，化简可得 sinAcosC+ sinC=sin（ A+C）=sin AcosC+cosAsinC，解得 cosA= ，因为 0A180，所以 A=60（2）由余弦定理 可得 21=25+c25c，即 c25c+4=0，解得 c=1 或 c=4，经检验，1 和 4 都是解，所以 c 的值是 1 或 49设 的内角 所对边的长分别是 ，且（1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） （2）由余弦定理，得 由于 ，所以 6故 10在 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知（1）证明：
6、 a+b=2c；（2）求 cos C 的最小值【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】 （1）由题意知 ，化简得 ，即 因为 ，所以 从而 ，由正弦定理得 （2）由（1）知 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数本题覆盖面较广，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等11在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 （1）证明：sin Asi
7、nB=sinC；7（2）若 ，求 tanB【答案】 （1）证明见解析；（2）4（2）由已知， b2+c2a2= bc，根据余弦定理，有 所以 sin A= 由（1） ，sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，所以 sin B= cos B+ sin B，故 tan B= =4【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为 这个定理，否则难以得出结论12在 中，角 的对边分别为 ，
8、且（1）求 的值；（2）若 ， ，求向量 在 方向上的投影【答案】 （1） ；（2） 8【解析】 （1）由得 ，则 ，即又 ，则13 （2018 新课标全国理）在平面四边形 中， ， ， （1）求 ；（2）若 ，求 【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）在 中，由正弦定理得 由题设知 ，所以 由题设知 ，所以 9（2）由题设及（1）知 在 中，由余弦定理得，所以 14 （2018 天津文理）在 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c 已知（1）求角 B 的大小；（2）设 ， ，求 和 的值【答案】 （1） ；（2） ， 【解析】 （1）在 中，由正弦定理 可得 ，又由
9、可得 ，即 ，化简可得 又 ，所以 （2）在 中，由余弦定理及 ， ， 可得，故 由 ，可得 因为 ，故 因此 ， ，所以15 （2016 北京）在 ABC 中， 10（1）求 的大小；（2）求 的最大值【答案】 （1） ；（2） 【解析】 （1）由余弦定理及题设得 又因为 ，所以 16 （2017 天津文）在 中，内角 所对的边分别为 已知， （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2） 【思路分析】 （1）首先根据正弦定理 得到 ，再根据余弦定理即可求得 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由 求得 ，然后根据求得 ，再求 ，然后由二倍角公式求 ，最后代入 的展开式即可【解析】
10、 （1）由 及 ，得 11由 及余弦定理，得 （2）由（1）可得 ，代入 ，得 由（1）知 A 为钝角，所以 于是 ， ，故 【名师点睛】 （1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题 17 （2017 天津理）在 中，内角 所对的边分别为 已知 ， （1）求 和 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ， ；（2） 【解析】 （1）在 中，因为 ，故由 ，可得 由
11、已知及余弦定理，有 ，所以 由正弦定理 ，得 12所以 的值为 ， 的值为 （2）由（1）及 ，得 ，所以 ， 故 18 （2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32cm，容器的底面对角线 AC 的长为 10 cm，容器的两底面对角线 ，的长分别为 14cm 和 62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为 12cm现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 放在容器中， 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中部分的长度；（2）将 放在容器中， 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 上，求 没入水中
12、部分的长度【答案】 （1）16；（2）20【解析】 （1）由正棱柱的定义， 平面 ，所以平面 平面 ， 记玻璃棒的另一端落在 上点 处13因为 ，所以 ，从而 ，如图， 与水面的交点为 ，过 作 P1Q1 AC， Q1为垂足，则 P1Q1平面 ABCD，故 P1Q1=12，从而 AP1= 答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” ，则结果为 24cm)（2）如图， O， O1是正棱台的两底面中心由正棱台的定义， OO1平面 EFGH，所以平面 E1EGG1平面 EFGH， O1O EG同理，平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1， O1O E1G1记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N 处过 G 作 GK E1G1， K 为垂足，则 GK =OO1=32因为 EG = 14， E1G1= 62，所以 KG1= ，从而 设则 14因为 ，所以 在 中，由正弦定理可得 ，解得 因为 ，所以 于是记 EN 与水面的交点为 P2，过 P2作 P2Q2 EG， Q2为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故 P2Q2=12，从而 EP2= 答：玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20cm(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” ，则结果为 20cm)
