1、6.3 等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,考点自诊,1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的比等于 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q(q0)表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an= . 3.等比中项 如果 成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列 . 4.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;,第二项,同一个,公比,a1qn-1,a,G,b,G2=ab,-3-,知识梳理,
2、考点自诊,设数列an是等比数列,Sn是其前n项和. (1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则 ,其中m,n,p,q,s, rN+. (2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN+). (3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban,panqbn和 也是等比数列.,-4-,知识梳理,考点自诊,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)满足an+1=qan(n N+,q为常数)的数列an为等比数列. ( ) (2)G为a,b的等比中项G2=ab. ( ) (3)等比数列中不存在数值为0的项
3、. ( ) (4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列. ( ) (5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列. ( ) (6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,D,3.(2018山东济南外国语学校月考)已知数列an的前n项和为Sn, a1=1,Sn+1=Sn+2an,则a10=( ) A.511 B.512 C.1 023 D.1 024,B,解析:Sn+1-Sn=an+1=2an,即an是以2为公比的等比数列,a10=a129=29=512,故选B.,-7-,知识梳理,考点自诊,4.(201
4、8湖南长郡中学三模,5)设an是公比q1的等比数列,若a2 010和a2 011是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 012+a2 013=( ) A.18 B.10 C.25 D.9,5.(2018贵州黔东南一模)等比数列an的前n项和为Sn,若公比q=8, S2=18,则( ) A.8Sn=7an+2 B.8Sn=7an-2 C.8an=7Sn+2 D.8an=7Sn-2,A,C,解析:用特殊值排除法.由题意,S2=a1+a1q=18,所以a1=2, 则B、D错误;又a2=16,所以8a2=128=7S2+2,则A错误,C正确.,-8-,知识梳理,考点自诊,6.设等比数列an的公比为q
5、,前n项和为Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的 条件.,充要,解析:S4=2S2, a1+a2+a3+a4=2(a1+a2), a3+a4=a1+a2, q2=1|q|=1,所以“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件.,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,等比数列的基本运算,A,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些? 解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法: (1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可
6、迎刃而解. (2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和. (3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,A,-8,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,等比数列的判定与证明 例2(2018全国1,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an. 设 (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断或证明一个数列是
7、等比数列的方法有哪些? 解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:,(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,n N+),则an是等比数列. 2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(2018黑龙江哈尔滨期中)已知数列an中a1=3,其前n项和Sn满足:Sn=an+1+n-3.求证:数列an-1是等比数列.,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,等比数列性质的应用(多考向) 考向1 等比数列项的性质的应用 例3(1)(2018湖北重点高中联考)等比数列an的各项均
8、为正数,且a1 007a1 012+a1 008a1 011=18,则log3a1+log3a2+log3a2 018=( ) A.2 017 B.2 018 C.2 019 D.2 020 (2)(2018衡水中学押题一,3)在等比数列an中,“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,B,D,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)a1 007a1 012=a1 008a1 011, a1 007a1 012+a1 008a1
9、 011=2a1 007a1 012=18, a1 007a1 012=a1a2 018=9, log3a1+log3a2+log3a2 018=log391 009=2 018log33=2 018, 故选B. (2)由韦达定理知a4+a12=-3,a4a12=1,a40,a120, a8=a4q40,a8= =-1,故充分性不成立. 当a8=1时,a4a12=(a8)2=1. 但不能得到a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根,故必要性不成立. 故选D.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2 等比数列前n项和的性质的应用 例4(1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,
10、S4=15,则S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 (2)(2018吉林长春质量监测一)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3= .,C,10,解析: (1)S2=3,S4=15, 由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, (S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C. (2)根据等比数列的前n项和的性质,若Sn是等比数列的和, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍是等比数列, 得(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S3=10,或S3=90. 因为
11、an0,所以舍去S3=90.故答案为10.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考本题应用什么性质求解比较简便? 解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质: (1)通项公式的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n). 2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(1)(2018河北衡水中学金卷一模,4
12、)已知等比数列an中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则a5=( ) A.2 B.-2 C.2 D.4 (2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=10, S12=130,则S8=( ) A.-30 B.40 C.40或-30 D.40或-50 (3)(2018湖南长郡中学模拟二)已知数列an的首项为3,等比数列bn满足 ,且b1 009=1,则a2 018的值为 .,C,B,3,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,等差、等比数列的综合问题,(2)(2018衡水中学一模,15)在等比数列an中,a2a3=2a1,且a4与2a7
13、的等差中项为17,设bn=a2n-1-a2n,nN+,则数列bn的前2n项和为 .,D,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的? 解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-25-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)已知各项不为0的等差数列an满足a4- +3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b3b8b10=( )
14、 A.1 B.8 C.4 D.2 (2)(2018湖南长郡中学五模,8)设等比数列an的前n项和为Sn,公比为q,且S3,S9,S6成等差数列,则8q3等于 ( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4,B,A,解析: (1)a4+3a8=2 7 2 ,4a1+24d=2 7 2 ,4a7-2 7 2 =0, a70,a7=2=b7,b3b8b10= 7 3 =8,选B. (2)依题意可知2S9=S6+S3,若q=1,则不满足2S9=S6+S3,故q1,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“
15、知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.判定等比数列的方法 (1)定义法: (q是不为零的常数,n N+)an是等比数列. (2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,n N+)an是等比数列. (3)等比中项法: =anan+2(anan+1an+20,n N+)an是等比数列. 3.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0. 2.在求等比数列的前n项和时,易
16、忽略q=1这一特殊情形.,-28-,数学文化与数列 典例1(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为( ),答案:D,-29-,典例2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的
17、路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则问第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 答案:B,-30-,典例3九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为( ),答案:B 解析:设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,-31-,典例4我国古
18、代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其总质量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,10),且a1a2a10,若48ai=5M,则i= . 答案:6,-32-,解析:由题意知由细到粗每段的质量成等差数列, 记为an,设公差为d,-33-,反思提升我国古代数学强调“经世济用”,注意算理算法,其中很多问题可转化为等差数列、等比数列问题.以上几个例题是以我国古代数学名著的实际问题为背景的数列题,意在考查学生的数学文化素养和应用意识.求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学,建立恰当的数列模型,运用方程思想求解计算.,
