1、1高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形1.(2018 北京,理 15)在 ABC 中, a=7,b=8,cos B=-.(1)求 A;(2)求 AC 边上的高 .2. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2.3 7(1)求 c;(2)设 D 为 BC 边上一点,且 AD AC,求 ABD 的面积 .3.(2018 河南郑州三模,17)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 acos C=(2b- c)cos A.3 3(1)求角 A 的大小;(2)若 a=2,求 ABC 面积的最大值 .4.(201
2、8 河南六市联考二,17)已知 f(x)=12sin x+ cos x-3,x .6 0,4(1)求 f(x)的最大值、最小值;(2)CD 为 ABC 的内角平分线,已知 AC=f(x)max,BC=f(x)min,CD=2 ,求 C.225.(2018 山东潍坊三模,17)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x+2 sin xcos x(xR) .3(1)求 f(x)的最小正周期;(2)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f(A)=2,c=5,cos B=,求 ABC 中线 AD 的长 .6.已知在 ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 BAC, A
3、BD 的面积是 ADC 面积的 2 倍 .(1)求 ;(2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长 .227.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 4cos2 -4sin Bsin C=3.-2(1)求 A;(2)若( bc-4 )cos A+accos B=a2-b2,求 ABC 的面积 .338.在 ABC 中, a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边 .若 acos B=3,bcos A=1,且 A-B= ,6(1)求边 c 的长;(2)求角 B 的大小 .4高考大题专项二 高考中的三角函数与解三角形1.解 (1)在 ABC 中, cos B=-,
4、B , sin B= .(2,) 1-2=437由正弦定理,得 ,=7=8437 sin A= .32B ,A ,A= .(2,) (0,2) 3(2)在 ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A= .32(-17)+12437=3314如图所示,在 ABC 中,过点 B 作 BD AC 于点 D. sin C= ,h=BC sin C=7 , 3314=332AC 边上的高为 .3322.解 (1)由已知可得 tan A=- ,3所以 A= .23在 ABC 中,由余弦定理得 28=4+c2-4ccos ,23即 c2+2c-24=0,解得 c=-
5、6(舍去), c=4.(2)由题设可得 CAD= ,2所以 BAD= BAC- CAD= .6故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 =1.12612又 ABC 的面积为 42sin BAC=2 ,12 3所以 ABD 的面积为 .33.解 (1)由正弦定理可得: sin Acos C=2sin Bcos A- sin Ccos A,3 3从而可得 sin(A+C)=2sin Bcos A,即 sin B=2sin Bcos A,3 3所以 cos A= ,又 A 为三角形的一个内角 ,所以 A= .32 6(2)由余弦定理得 4=b2+c2-2bc 2 bc- bc,32 3所以 bc4(
6、2 + ),当且仅当 b=c 时取等号,所以 Smax= bcsin A=2+ .312 354.解 (1) f(x)=12sin x cos x+12cos xcos x-3=3 sin 2x+3(1+cos 2x)-3=6sin32 3.(2+6)f (x)在 上单调递增,在 上单调递减,0,6) (6,4f (x)max=6,f(x)min=3.(2)在 ADC 中, ,2=在 BDC 中, ,2= sin ADC=sin BDC,AC=6,BC=3,AD= 2BD.在 BCD 中, BD2=17-12 cos ,22在 ACD 中, AD2=44-24 cos =68-48 cos ,
7、22 2 2 cos ,即 C= .2=22 25.解 (1) f (x)=-cos 2x+ sin 2x=2sin ,3 (2-6)T= = . 函数 f(x)的最小正周期为 .22(2)由(1)知 f(x)=2sin ,(2-6) 在 ABC 中, f(A)=2, sin =1.(2-6) 2A- ,A= .6=2 3又 cos B= , sin B= ,17 437 sin C=sin(A+B)= ,3217+12437=5314在 ABC 中,由正弦定理 ,得 ,= 55314=32a= 7,BD= ,72在 ABD 中,由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B=52
8、+ -25 ,AD=(72)2 7217=1294.12926.解 (1) S ABD=ABADsin BAD,S ADC=ACADsin CAD.因为 S ABD=2S ADC, BAD= CAD,所以 AB=2AC.由正弦定理可得 .=126(2)因为 S ABDS ADC=BDDC ,所以 BD= .2在 ABD 和 ADC 中,由余弦定理知,AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcos ADC. 因为 cos ADB=-cos ADC,所以 + 2 得AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知 AB=2AC,所以 AC=
9、1.7.解 (1)4 -4sin Bsin C=2+2cos Bcos C-2sin Bcos C=2+2cos(B+C)1+(-)2=2-2cos A=3,cos A=- ,12 0A, A= .23(2) (bc-4 ) +ac =a2-b2,32+2-22 2+2-22 -4 =a2-b2,2+2-22 32+2-22 +2+2-22b 2+c2-a2-4 =0,32+2-22A= ,b 2+c2-a20,23 1- =0,bc=2 ,S ABC= bcsin A= 2 .432 3 12 12 332=328.解 (1) acos B=3,a =3,化为 a2+c2-b2=6c,2+2
10、-22bcos A=1,b =1,化为 b2+c2-a2=2c.2+2-22解由 组成的方程组得 2c2=8c,即 c=4.(2)将(1)得到的 c=4 代入 可得 a2-b2=8.又 A-B= ,A=B+ ,C= -(A+B)= - ,可得 sin C=sin .6 6 (2+6) (2+6)由正弦定理可得 ,=4a= ,b= .4(+6)(2+6)4(2+6)a 2-b2=816sin2 -16sin2B=8sin2 ,(+6) (2+6) 1-cos -(1-cos 2B)=sin2 ,(2+3) (2+6)即 cos 2B-cos =sin2 ,(2+3) (2+6) sin =sin2 ,(2+6) (2+6)7 sin =0 或 sin =1,B ,解得 B= .(2+6) (2+6) (0,512) 6
