1、1第 3 讲 圆锥曲线的综合问题配套作业1(2018武汉模拟)已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，直线 x4 与 x 轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q，且| QF| |PQ|.54(1)求抛物线 的方程；(2)如图所示，过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A， D 两点，与圆 x2( y1) 21 相交于B， C 两点( A， B 两点相邻)，过 A， D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求 ABM 与 CDM 面积之积的最小值解 (1)由已知 P(4,0)， Q ，| QF| .(4，8p) 8p p2因为| QF| |PQ|，所以 ，54 8p p2 54 8p
2、得 p2.所以抛物线方程为 x24 y.(2)由题意可知， l 斜率存在设 l： y kx1. A(x1， y1)， D(x2， y2)设 M(x0， y0)，则过 A， D 的弦方程可设为： xx02 y02 y 即 y x y0，x02Error! Error!即 M(2k，1) M 到 l 的距离 d 2 .2k2 21 k2 1 k2 S ABMS CDM |AB|CD|d214 (|AF|1)(| DF|1) d214 y1y2d2 d214 14x21x216又由Error! 联立得： x24 kx40， x1x24. S ABMS CDM (2 )21 k21.14 1616 1
3、 k2当且仅当 k0 时取等号当 k0 时， ABM 与 CDM 面积之积的最小值为 1.2(2018厦门一检)已知抛物线 C： y22 px(p0)上一点 M(t,8)到焦点 F 的距离是2t.54(1)求抛物线 C 的方程；(2)过 F 的直线与抛物线 C 交于 A， B 两点，是否存在一个定圆与以 AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由解 (1)由 抛物线定义得| MF| t ，p2又| MF| t， t t，即 t2 p，54 p2 54 M(2p,8)，点 M(2p,8)在抛物线 y22 px 上， p216，解得 p4(舍去)或 p4，抛物线 C 的方程
4、为 y28 x.(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y k(x2)，l 与抛物线交于点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 化简得 k2x2(4 k28) x4 k20，显然 0， x1 x2 ，4k2 8k2设 A， B 的中点为 M，则 xM (x1 x2) ，12 2k2 4k2yM k(xM2) ，4k|AB| x1 x2 p8 ，8k2设定圆的方程为( x a)2( y b)2 r2， 2 2 2，(2k2 4k2 a) (4k b) (4k2 4k2 r) (2 a)2 b2 (4 r)2，32 8ak2 8bk 32 8rk2Error!
5、 解得Error!定圆的方程为( x3) 2 y29，当直线 l 的斜率不存在时，以 AB 为直径的圆的方程为(x2) 2 y216，该圆也与定圆( x3) 2 y29 内切综上，所求定圆的方程为( x3) 2 y29.3(2018福州模拟)如图，在矩形 ABCD 中，| AB|4，| AD|2， O 为 AB 的中点，P， Q 分别是 AD 和 CD 上的点，且满足 ，直线 AQ 与 BP 的交点在椭圆|AP|AD| |DQ|DC|E： 1 (ab0)上x2a2 y2b23(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 R 为椭圆 E 的右顶点， M 为椭圆 E 第一象限部分上一点，作 MN 垂直于 y
6、 轴，垂足为 N，求梯形 ORMN 面积的最大值解 (1)设 AQ 与 BP 的交点为 G(x， y)， P(2， y1)， Q(x1，2)，由题可知， ， ， ，y12 x1 24 yx 2 2x1 2 y2 x y14从而有 ，整理得 y21，即为椭圆 E 的方程4y2 x x 2y x24(2)由(1)知 R(2,0)，设 M(x0， y0)，则 y0 ，12 4 x20从而梯形 ORMN 的面积S (2 x0)y0 ，12 14 4 x20 2 x0 2令 t2 x0，则 20， u4 t3 t4单调递增，当 t(3,4)时， u0 时，9 k 2 12 ，8k 98 2所以 mb0)
7、，x2a2 y2b2抛物线 x28 y，3焦点 F(0,2 )， b2 ，3 3方程 2x23 x200 即(2 x5)( x4)0，2 c4，即 c2， a2 b2 c216，椭圆 C 的方程为 1.x216 y212(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 方程为 y x t，12由Error! 得 x2 tx t2120，6 t24( t212)0，4b0)与坐标轴的四个交点所构成的四x2a2 y2b2边形的面积为 2 ，且点 P 在椭圆 C 上2 (1，22)(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 G 的动直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，在 y 轴上是否
8、存在定点 Q，使以(0，13)AB 为直径的圆恒过 Q 点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)由题意 可知 2ab2 ，2所以 ab ，2又点 P 在椭圆上，(1，22)所以有 1，1a2 12b2由联立，解得 b21， a22，故所求的椭圆方程为 y21.x22(2)直线 l 的方程可设为 y kx ，137设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error! 可得 9(12 k2)x212 kx160.由韦达定理得 x1 x2 ，4k3 1 2k2x1x2 ，169 1 2k2假设在 y 轴上存在定点 Q(0， m)，使以 AB 为直径的圆恒过这个点，则
9、，即 0，AQ BQ AQ BQ ( x1， m y1)， ( x2， m y2)，AQ BQ x1x2( m y1)(m y2)AQ BQ x1x2 (m kx113)(m kx2 13)(1 k2)x1x2 k (x1 x2) m2 (13 m) 2m3 19 m2 16 1 k29 1 2k2 12k2(13 m)9 1 2k2 2m3 19 0. 18m2 18 k2 9m2 6m 159 1 2k2Error! 求得 m1.因此，在 y 轴上存在定点 Q(0，1)，使以 AB 为直径的圆恒过这个点8(2018珠海模拟) 已知椭圆 C： y21 的左顶点为 A，右焦点为 F， O 为原
10、点， M， N 是 y 轴上的两个x22动点，且 MF NF，直线 AM 和 AN 分别与椭圆 C 交于 E， D 两点(1)求 MFN 的面积的最小值；(2)证明： E， O， D 三点共线解 (1)设 M(0， m)， N(0， n)， MF NF， 0，MF NF 即(1， m)(1， n)0， mn1.又 S MFN |MN|OF| |m n| |m( n)|，12 12 128 m0， n0， m( n)2 2 2， mn 1当且仅当 m n 时等号成立 S MFN 21，12 MFN 的面积的最小值为 1.(2)证明： A( ，0)， M(0， m)，2直线 AM 方程为 y x m，m2Error!联立得 y2 0，(22m2) 4ym yA yE ， yE .2m1 m2 2m1 m2同理 yD .2n1 n2将纵坐标代入直线方程得xE ， xD ，2 1 m21 m2 2 1 n21 n2 ，yExE2m1 m22 1 m21 m2 2m2 1 m2 2m1 m2又 mn1， ，2m1 m2 2nn2 1 2n1 n2又 ， .yDxD2n1 n22 1 n21 n2 2n1 n2 yExE yDxD E， O， D 三点共线
