1、- 1 -牡一中 2018 级高一学年上学期期中考试数学试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.若集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由全集 U 及 A，求出 A 的补集即可【详解】全集 U=1，2，3，4， ， ，故选：C【点睛】本题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次根式被开方数大于或等于 0，即可求出 f（x）的定义域【详解】函数 ,要使二次根式 有意义，则 x 故函数 的定义域为 ，故选 D .【点睛】本题考查了求函数的定义域的问题,函数的定义域
2、就是使函数有意义的自变量的取值范围求解函数定义域的常规方法：分母不等于零；根式（开偶次方）的被开方式0；对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于 1；指数为零时，底数不为零结合实际问题，判断函数的定义域.3.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件- 2 -C. 充要条件 D. 既不充分也不不要条件【答案】A【解析】【分析】由 ，解得 x= ，即可判断关系.【详解】由 ，解得 x= “ ”是“ ”的充分不必要条件故选：A【点睛】充分、必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若 则 ”、 “若 则 ”的真假并注意和图示相结合，例如“ ”为真，则 是 的充分条件
3、2等价法：利用 与非 非 ， 与非 非 ， 与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若 ，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件4.命题“ ”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果【详解】命题“ ”的否定是 故选：A【点睛】全称命题的一般形式是： ， ，其否定为 .存在性命题的一般形式是 ， ，其否定为 .5.已知 ，则 （ ）A. 15 B. 21 C. 3 D. 0- 3 -【答案】B【解析】【分析】由 ，令 即可得结果.【详解】 ，故选 B【点睛】本题主要考查函数
4、的解析式，意在考查基本概念的掌握情况，属于简单题.6.已知函数 （其中 ）的图象如图所示，则函数 的图象大致是( )A. B. .C. D. 【答案】D【解析】由二次方程的解法易得( x a)(x b)0 的两根为 a， b；根据函数零点与方程的根的关系，可得 f(x)( x a)(x b)的零点就是 a， b，即函数图象与 x 轴交点的横坐标；观察 f(x)( x a)(x b)的图象，可得其与 x 轴的两个交点分别在区间(，1)与(0,1)上，又由ab，可得 b1,0 a1.对函数 g(x) ax b，由 0a1 可得其是减函数，又由 b1 可得其与 y 轴交点的坐标在 x 轴的下方；分析
5、选项可得 A 符合这两点，B，C，D 均不满足故选：A.- 4 -7.若函数 ，则 （ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】由分段函数的解析式，先计算 ，再计算 ，结合指数、对数的运算性质可得所求值【详解】 ， 故选：B【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围8.函数 在1,2上的最大值比最小值大 ，则 (
6、 )A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】对 a 分类讨论，根据指数函数的单调性布列方程，解之即可.【详解】当 a1 时，函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在区间1，2上是增函数，由题意可得 a 2a= ，a= 当 0a1 时，函数 f（x）=a x（a0 且 a1）在区间1，2上是减函数，由题意可得 aa 2= ，解得 a= 综上，a 的值为 或故选：C- 5 -【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题9.设 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】借助指数函数与对数函数的图象与性质问题得解.【详解】 =0，
7、 =1， =1， ，故选：D【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小10.如果关于 的方程 的两根是 ，则 的值是（ ）A. B. C. 35 D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知，lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0 的两根，依据根与系数的关系得 lg+lg=（lg7+lg5） ，再根据对数的运算性质可求得 的值
8、【详解】方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0 的两根为 、，lg，lg 是一元二次方程 x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0 的两根，lg+lg=（lg7+lg5） ，lg=lg35， 的值是 故选：D- 6 -【点睛】本题是一元二次方程与对数运算交汇的题目，考查学生整体处理问题的能力，本题容易出现的错误是，误认为方程 lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0 的两根为 、，则=lg7lg5，导致错选 A11.已知函数 y=f（ x）在定义域（-1，1）上是减函数，且 f（2 a-1） f（1- a） ，则实数 a的取值范围是（ ）A. B. C. （
9、0，2） D. （0，+）【答案】B【解析】【分析】利用函数 y=f（x）在定义域（1，1）上是减函数，将 f（2a1）f（1a）转化为：2a11a 求解【详解】函数 y=f（x）在定义域（1，1）上是减函数，则有： ，解得： ，故选：B【点睛】本题考查了函数的性质的运用，利用了减函数这性质，注意定义域的范围，属于基础题12.已知定义在 上的函数 为增函数，且 ，则 等于（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】A【解析】【分析】设 f（1）=t，由题意知 t0，令 x=1，代入 f（x）ff（x）+ =1，得 f（t+1）= ，令x=t+1 代入 f（x）ff（x）+ =1，得 f（ + ）
10、=t=f（1） ，由在（0，+）上的函数f（x）为单调函数，得 t2t1=0，由此能求出 f（1） 【详解】设 f（1）=t，由题意知 t0，- 7 -令 x=1，代入 f（x）ff（x）+ =1，得 f（1）ff（1）+1=1，即 f（t+1）= ，令 x=t+1 代入 f（x）ff（x）+ =1 得，f（t+1）ff（t+1）+ =1，f（ + ）=t=f（1） ，在（0，+）上的函数 f（x）为单调函数， + =1，化简得 t2t1=0，解得，t= 或 t= 定义在（0，+）上的函数 f（x）为增函数，且 f（x）f（f（x）+ ）=1，f（1）= 故选：A【点睛】本题考查函数值的求法，
11、考查函数的单调性、换元法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.若函数 为奇函数，则 _.【答案】1【解析】【分析】利用奇函数定义建立 a 的方程即可.【详解】函数 为奇函数，即 ，即 a=1故答案为：1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，解题关键利用好定义当中蕴含的恒成立等式，属于基础题.14.若 ，则实数 的取值范围是_.- 8 -【答案】【解析】【分析】利用对数函数的单调性求出实数 m 的取值范围【详解】由 可得故答案为：【点睛】本题考查利用对数函数的单调性解对数不等式属于基础题15.不论 为
12、何值，函数 的图象一定经过点 P，则点 P 的坐标为_.【答案】 （2,2）【解析】【分析】利用 a0=1（a0） ，取 x=2，得 f（2）=2，即可求函数 f（x）的图象所过的定点【详解】当 x=2 时，f（1）=a 22 +1=a0+1=2，函数 的图象一定经过定点（ 2,2） 故答案为：（2,2） 【点睛】本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点16.已知定义在 上的偶函数 在区间 上是增函数.若存在实数 ，对任意的 ，都有 ，则正整数 的最大值为_【答案】5【解析】【分析】根据题意 等价于|x+t|1+ |，即 t1 + ，即.【详解】由题意，
13、f（x）在区间0，+）上是增函数，又是偶函数，f（x+t）f（1+ ） ，又- 9 -可得|x+t|1+ |=1+ ，即 x+t1+ ，t1 + ，即又 在 上单调递减，记 1 + 在 上递增，在 上递减若存在实数 ，对任意的 ，都有 ，则 ，即 有解经检验：，正整数 的最大值为 5故答案为：5【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题与存在性问题，利用导数研究函数的单调性，体现了转化的数学思想，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大三、解答题17.求不等式 中 的取值范围。【答案】见解析【解析】【分析】根据不等式需要对 a 进行讨论，分两类：a1 时和 0a1 时，再分别利用指数函数的单调性列
14、出不等式求解，最后要把结果分开表示【详解】由 a2x7 a 4x1 知需要进行分类，具体情况如下：当 a1 时，y=a x在定义域上递增，2x74x1，解得 x3；- 10 -当 0a1 时，y=a x在定义域上递减，2x74x1，解得 x3；综上得，当 a1 时，x 的取值范围为（，3） ；当 0a1 时，x 的取值范围为（3，+） 【点睛】本题考查了利用指数函数的单调性求有关指数不等式的解，关键是根据底数判断函数的单调性，考查了分类讨论思想18.计算下列各式的值：（1） ； （2） 。【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）利用有理指数幂的运算法则求解即可；（2）利用对数运算法则化
15、简求解即可【详解】 （1） ；（2）【点睛】本题考查有理指数幂以及对数运算法则的应用，考查计算能力19.已知函数 （1）求函数 的定义域；（2）判断函数 的奇偶性。【答案】 （1）x|1x1（2）偶函数【解析】【分析】（1）要求函数 f（x）+g（x）的定义域，我们可根据让函数解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组即可得到函数 f（x）+g（x）的定义域；（2）要判断 h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性，我们根据奇偶性的定义，先判断其定义域是- 11 -否关于原点对称，然后再判断 f（x）+g（x）与 f（x）+g（x）的关系，结合奇偶性的定义进行判断；【详解】 （1）f（x）+g（x
16、）= + 若要上式有意义，则 ，即1x1所以所求定义域为x|1x1（2）记 h（x）=f（x）+g（x） ，定义域为x|1x1则 h（x）=f（x）+g（x）=log2（x+1）+log 2（1+x）=h（x） 所以 h（x）=f（x）+g（x）是偶函数【点睛】本小题主要考查函数的定义域、函数奇偶等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想属于基础题20.已知命题 p： ，命题 q:|2a-1|3(1)若命题 p 是真命题，求实数 a 的取值范围；(2)若 p q 是真命题， p q 是假命题，求实数 a 的取值范围。【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据命题为真命题，分类讨论
17、a 是否为 0；再根据开口及判别式即可求得 a 的取值范围。（2）【详解】根据复合命题真假，讨论 p 真 q 假，p 假 q 真两种情况下 a 的取值范围。（1）命题 是真命题时， 在 范围内恒成立，当 时，有 恒成立； 当 时，有 ，解得： ； 的取值范围为： .（2） 是真命题， 是假命题， . 一真一假， - 12 -由 为真时得： ，故有： 真 假时，有 得： ； 假 真时，有 得： ； 的取值范围为： .【点睛】本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题。21.对于函数（1）探索函数 的单调性；（2）是否存在实数 ，使函数 为奇函数？【答案】 （1） 在
18、 上是增函数（2） 时， 为奇函数【解析】试题分析：证明：（）解：（1）函数 的定义域是 R， 1 分设 ，则 ，4 分由 ， ，知 ，得 ，所以 .故 在 上是增函数. 6 分（2）存在。因为函数 的定义域是 R，故要使 为奇函数，必有 ，解得 . 8分下面证明当 时， 为奇函数。， 11 分为奇函数。由上可知，存在实数 ，使 为奇函数。 12 分- 13 -考点：函数的单调性和奇偶性点评：主要是考查了函数的性质的综合运用，属于中档题。22.已知函数 ， .（1）若关于 的不等式 的解集为 ，当 时，求 的最小值；（2）若对任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围。【答案】(1) (
19、2)【解析】【分析】（1）先求出 a=5，再构造基本不等式，即可求出最小值；（2）先根据复合函数的单调性，求出函数 f（x） max=1，则可得 x2ax+70 在2，4上恒成立，再分类讨论，即可求出 a 的范围【详解】 （1）由题意可知 ， ， 又 ， ， ，即 的最小值为 ，取“ ”时 .（2） 时， ， 在 上恒成立. 记 （ ） ，当 时， ，由 ， .当 时， ，由 ， .- 14 -当 时， ，由 ， .综上所述， 的取值范围是 .【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数） ，区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.
