1、12018-2019 学年河南省信阳高级中学高二上学期期中考试数学（理）试题注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘 贴在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接
2、答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、单选题1已知集合 ， ，则=1,2,3=0,1,2,3,4 ()=A B C D0,4 0,1,4 1,4 0,12设 ， ，则 是 成立的:log222 :2 A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知向量 等于=(,2),=(,1),且 /， 则 (4)A3 B C D313 134从集合2,3,4,5中随机抽取一
3、个数 m,从集合1,3,5中随机抽取一个数 n,则向量 =(m,n)与向量 =(1,-1)垂直的概率为A B C D16 13 14 125某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A B C D+8 2+8+43 2+836甲、乙两名同学 次数学测验成绩如茎叶图所示， 分别表示甲、乙两名同学 次数学测8 1,2 8验成绩的平均数， 分别表示甲、乙两名同学 次数学测验成绩的标准差，则有1,2 8A ， B ，12 127观察式子： ，则可归纳出式子为1+1220,0) 2=8 12=A B234 433C D438 8439把函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则()=2+326
4、 () ()A在 上单调递增 B在 上单调递减(0,4) (0,4)C图象关于点 对称 D图象关于直线 对称(12,0) =610设 F 为抛物线 的焦点， A、 B、 C 为该抛物线上三点，若 ，则2=4 +=0|+|+|=A6 B9 C3 D411已知函数 （ 为自然对数的底数），若关于 的方程 有两个()=,0,0 ()+=0不相等的实根，则 的取值范围是A B C D1 10,0) 1,2 1此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2坐标原点 为圆心， 为半径的圆相切于点 ，线段 的垂直平分线恰好过点 ，则双曲线的离心 1 2率为A B C D32 43 2 53二、填空
5、题13命题“ ”的否定是_.03,02+01314已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_. +10,2+40,0, =215已知平面向量 满足 ，则 的夹角为_, |=2,|=1,|+2|=23 与 16以下三个关于圆锥曲线的命题中：设 为两个定点， 为非零常数，若 ,则动点 的轨迹是双曲线；、 |= 方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；225+2=0双曲线 与椭圆 有相同的焦点；22529=1 235+2=1已知抛物线 ，以过焦点的一条弦 为直径作圆，则此圆与准线相切，其中真命题为2=2 _（写出所有真命题的序号）三、解答题17设函数 .()=|27|+1(1)求不等式 的解
6、集；()(2)若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围 ()2|1| 18在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极 坐标方程为 ；直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲=2+2(0) =2+22,=22 线 分别交于 ， 两点. （1）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （2）若点 的极坐标为 ， ，求 的值. (2,) |+|=52 19已知函数()=32+32（1）求函数 的最小值以及取得最小值时 x 的取值集合()（2）在ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a， b， c，且 求ABC 的(2)=0,=6,+=43面积20已知命题
7、 恒成立；命题 方程 表示双曲线.2:1,xpxm:q221xym（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 的取值范围.qp21已知 是等差数列， 是等比数列，其中 ， ， . 1=1=1 2+3=4 3+4=7（）求数列 与 的通项公式； （）记 ，求数列 的前 项和 .=1(1+2+)(1+2+) 22已知 是椭圆 的两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，1,222+22=1(0) (1,22)且 ， 是以 为直径的圆，直线 与 相切，并且与椭圆交于不同112=0 12 :=+ 的两点 .,（1） 求椭圆的标准方程；（2） 当 ，且满足
8、 时，求弦长 的取值范围=2334 |2018-2019 学 年 河 南 省 信 阳 高 级 中 学高 二 上 学 期 期 中 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题数 学 答 案参考答案1B【解析】【分析】由交集的定义求出 ，再进行补集的运算即可.【详解】因为集合 ， ，=1,2,3=0,1,2,3,4所以 ，=2,3，故选 B.()=0,1,4【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足不属于集合 且不属于集合 的元素的集合. 2A【解析】【分析】直接解不等式 可得 或 ，根据充分条件，必要条件的定义可以判
9、断。log222 2 2 24 2所以 是 成立的必要不充分条件.故选 A. 【点睛】若 p，则 q 是真命题，则称 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件，若 q，则 p 是真命题，则称 q 是 p 的充分条件，同时 p 是 q 的必要条件，若以上两点同时成立，则称 p 是 q 的充要条件。这是解决此类问题的主要依据。3B【解析】【分析】先由 可求得 ，再根据两角差的正切公式求解可得所求/=12【详解】 ，=(,2),=(,1),且 / ，2= =12 (4)=11+=121112=3故选 B【点睛】本题考查两向量平行的等价条件及两角差的正切公式，解题的关键是根据题意求得 的值
10、，另外，运用公式时出现符号的错误也是常出现的问题4A【解析】【分析】根据分步计数乘法原理求得所有的 )共有 12 个，满足两个向量垂直的 共有 2 个，利(,) (,)用古典概型公式可得结果.【详解】集合2,3,4,5中随机抽取一个数 ,有 4 种方法；从集合1,3,5中随机抽取一个数 ，有 3 种方法，所以，所有的 共有 个，(,) 43=12由向量 与向量 垂直,可得 ，即 ,=(,) =(1,1) =0 =故满足向量 与向量 垂直的 共有 2 个： ，=(,) =(1,1) (,) (3,3),(5,5)所以向量 与向量 垂直的概率为 ，故选 A.=(,) =(1,1)212=16【点睛
11、】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式 求得概率.=5C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体的直观图是三棱锥与圆柱的 的组合体，由三视图中数据分别求出三12棱锥与圆柱的体积,即可求出几何体的体积.【详解】由三视图可知，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的 的组合体，12三棱锥的底面是直角边长为 2 的等腰三角形，高为 2，圆柱的底面半径是 1 ,高为 2 ,所以体积为 ，故选 C.12212+1312222=+43【点睛】本题利用空间
12、几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.6B【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【详解】由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92.乙的成绩分别为：77，78，83，85
13、，85，87，92，93. ，1=18(78+79+84+85+85+86+91+92)=85；12=18(7885)2+(7985)2+0+0+(8685)2+(9185)2+(9285)2=1718，2=18(77+78+83+85+85+87+92+93)=8522=18(7785)2+(7885)2+0+0+(8785)2+(9285)2+(9385)2=2308 ，1=2 10 =【详解】关于 的方程 有两个不相等的实根， ()+=0等价于函数 和 的图象有两个不同的交点，=() =作出函数 和 的图象，如图所示，()=,0,0 =由图可知， ，即 时，113【解析】【分析】根据特称
14、命题的否定是全称命题这一结论即可.【详解】命题“ ”的否定是 .03,02+013 3,2+13故答案为： .3,2+13【点睛】这个题目考查了命题的否定的书写，特称命题的否定是全称命题，符合换量词，否结论，不变条件这一结论.14 3【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出 表示的可行域，如图，约 束条件 +10,2+40,0, 由 可得 ，可得+1=02+4=0 =1=2 (1,2)将 变形为 ，=2=22平移直线 ，=22由图可知当直 经过点 时，=22 (1,2)直线
15、在 轴上的截距最大，取得最小值， ，故答案为 .=122=3 3【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.153【解析】【分析】对 两边平方结合题设条件得到 ，故可得两向量夹角的大小|+2|=23 =1【详解】由 可以得到 ，|+2|=23 2+4+42=12所以 ，所以 ，故 ，因 ，故 填 =1 21,=1,=12 ,0,
16、 ,=3 3【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，|=.特别地，两个非零向量 垂直的充要条件是 .,=| , =016【解析】A、B 为两个定点，K 为非零常数，若|PA|PB|=K，当 K=|AB|时，动点 P 的轨迹是两条射线，故错误；方程 2x25x+2=0 的两根为 和 2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故正确；12双曲线 =1 的焦点坐标为（ ，0），椭圆 y 2=1 的焦点坐标为（ ，0），故22529 34 235 34正确；设 AB 为过抛物线焦点 F 的弦，P 为 AB 中点，A、B、P 在准线 l 上射影分别为 M、N、Q，AP+B
17、P=AM+BNPQ= AB，12以 AB 为直径作圆则此圆与准线 l 相切，故正确故正确的命题有：故答案为：17（1） ；（ 2）|836 4【解析】【分析】本题需要分类讨论，对 去绝对值的两种情况分类讨论。|27|可以先令 ，在对 进行分类讨论求出最小值，最后得出 的取值范围。()=()2|1| () 【详解】(1)由 得 ，() |27|+1 27027+1 或 2772 ()=4存在 x 使不等式 成立，()2|1| (),4【点睛】在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。18（1）曲线 的直角坐标方程为： ， 直线 的普通方程为 ()2+(1
18、)2=2+1 . =+2（2） =2【解析】【分析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线 的普通方程，极坐标方程两边同乘以 利 用 即可得曲线 的直角坐标方程；（2）直线 的参数方程代入圆2=2+2,=,= 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】（1）由 ，得 ，=2+2(0) 2=2+2(0)所以曲线 的直角坐标方程为 ， 2+2=2+2即 ， 直线 的普通方程为 . ()2+(1)2=2+1 =+2(2)将直线 的参数方程 代入 并化简、整理，=2+22,=22 2+2=2+2得 . 因为直线 与曲线 交于 ， 两点。2(32+2)+4+4=0
19、 所以 ，解得 .=(32+2)24(4+4)0 1由根与系数的关系，得 ， . 1+2=32+2 12=4+4因为点 的直角坐标为 ，在直线 上.所以 ， (2,0) |+|=|1+2|=32+2=52解得 ，此时满足 .且 ，故 .=2 0 1 =2【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 等三角恒等式）消去参数化为2+2=1普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 ，= 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为2+2=2= 直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题19（1）函数 的最小值为1，此时 的取值集合为 ；（2）
20、() |=12+， 3【解析】【分析】（1）将函数化为 ，然后可得最小值及其对应的 x 的取值的集合；（2）由()=(23)可得 ，然后运用余弦定理可得 ，进而得到三角形的面积(2)=0 =3 =4【详解】（1）由题意得()=12232(2+1)+32=122322， =(23)当 ， ，23=2+2 即 ， 时， 取得最小值1，=12+ ()函数 的最小值为 1，此时 的取值集合为 () |=12+， （2）由题意得及（1）得 ，(2)=(3)=0 A 为 的内角， =3由余弦定理得 ，2=2+22即 ，2=2+2=(+)23又 ， ，=6 +=43 ，36=483 ， =4 的面积 =12
21、=12432=3【点睛】解三角形的问题常与三角函数的知识结合在一起考查，以体现在知识点的交汇处命题的思想在余弦定理的应用中要注意对公式的变形，如 ，然后便可与三角形的2+2=(+)22面积结合在一起，这是常考的题型之一20(2) ;(2) ，或 .4m24m【解析】试题分析：（1）当命题 P 为真命题时，转化为求 在 上的最小值，21xf,继而求出 m 的范围；（2）先求出当命题 q 为真命题时 m 的范围，再由已知条件得出 p,q 一个为真命题，一个为假命题，再分两种情况分别求出 m 的范围，最后取并集即可求出 m 的范围。试题解析：（1） ， ，211fx 2xx1,x，故命题 为真命题时
22、， 24xp4（2）若命题 为真命题，则 ，所以 ，q20m2m因为命题 为真命题，则 至少有一个真命题， 为假命题，“p,q“pq则 至少有一个假命题，所以 一个为真命题，一个为假命题., p当命题 为真命题，命题 为假命题时， ，则 ，或 ；4 2m或 2m4当命题 为假命题，命题 为真命题时， ， 舍去pq综上， ，或 .2m421() ， .() .=21 =21 =(1)2+1(+1)2 +2【解析】试题分析：()由题意结合数列的性质可得等差数列的公差为 2，等比数列的公比为 2，据此计算可得的通项公式 ， 的通项公式 . =21 =21()由题意结合()中求得的通项公式可得 .错位
23、相减结合等差数列前 n 项和公=2式可得 .=(1)2+1(+1)2 +2试题解析：（）设数列 的公差为 ，数列 的公比为 ， 由 ，得 ， ，1=1=1 =1+(1) =1由 ， ，得 ， ，2+3=4 3+4=7 2=23=4 .=2 的通项公式 ， 的通项公式 . =21 =21（）由（）可得 ， ，1+2+=2 1+2+=21故 .=12(21)=2则 .=(12+222+2)(1+2+)令 ，=12+222+323+2则 ，2=122+223+324+2+1由-，得 .=2+1(2+22+23+2) =(1)2+1+2 .=(1)2+1+2(1+2+)=(1)2+1(+1)2 +2点
24、睛：一般地，如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解22（1） （2）22+2=1 62|43【解析】【分析】（1）根据点 在椭圆上，且 ，可建立方程，从而可求椭圆 M 的方程；(1,22) 112=0（2）利用直线 l：y=kx+m 与O：x 2+y2=1 相切，可得 m2=k2+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利 ， ，可确定其范围=2334【详解】（1）由 得 ，可得 ，将点 代入椭圆方程得 ，112=0 112 =1(1,22) 12+122=1又因为 ，联立解得
25、 ，故椭圆方程为 22=2=1 2=2,2=122+2=1（2）直线 与O 相切，则 。:=+|2+1=12=2+1由 得22+2=1=+ (1+22)2+4+222=0因为直线 与椭圆交于不同的两点 设 , (1,1),(2,2) ，02001+2=41+22,12=2221+2212=(1+)(2+)=212+(1+2)+2=2221+22 =12+12=1+21+22=231+21+22341221 |=1+2(1+2)2412=2 2(4+2)4(4+2)+1设 ，则 ，=4+2(1221) 342在 上单调递增 ， |=2 24+1=212 12(4+1),34,234,2 62|43
