1、- 1 -江西省宜丰中学 2019 届高三数学上学期第四次月考试题 理一、单选题1设集合 ， ，则 （ ）A B C D 2如下图，在边长为 4 的正方形内有区域 （阴影部分所示） ，现从整个图形中随机取一点，若此点取自区域 外的概率为 0.4，则区域 的面积为（ ）A 4 B 9 C 9.6 D 6.43命题 ： 中，若 ，则 ；命题 ：若 ，则方程 一定无实根，则下列命题为真命题的是（ ）A B C D 4已知等比数列 的前 n 项和为 Sn=m+ 则 m=（ ）A 1 B -1 C D 5已知函数 是奇函数，且满足 ，则 =（ ）A 1 B 1 C 3 D 36将多项式 分解因式得 ，
2、为常数，若，则 （ ）A -2 B -1 C 1 D 27某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：cm3）是 ( )A 2 B 4 C 6 D 8- 2 -8将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则（ ）A 图象关于直线 对称 B 图象关于点 中心对称C 在区间 单调递增 D 在区间 上单调递减9执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A B C D 10若双曲线的中心为原点， 是双曲线的焦点，过 F 直线 l 与双曲线交于 M， N 两点，且 MN 的中点为 ，则双曲线的方程为A B C D 11某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题分别为“听” 、
3、 “说” 、 “读” 、 “写”四场竞赛规定：每场竞赛的前三名得分分别为 ， ， （ ，且 ， ， ） ，选手的最终得分为各场得分之和最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在四场竞赛中，已知甲最终分为 分，乙最终得分为 分，丙最终得分为 分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“听”这场竞赛的第三名是（ ）A 甲 B 乙 C 丙 D 甲和丙都有可能12若关于 x 的方程 有三个不等的实数解 ， ， ，且 ，其中， 为自然对数的底数，则 的值为 A B e C D 二、填空题13已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则 与 的夹角为_14设 满足约束条件 ，则 的取值范围为
4、_15已知离心率 的双曲线 的右焦点为 ， 为坐标原点，以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线相交于 两点若 的面积为 1，则实数 的值为_- 3 -16如图,一张矩形白纸 ABCD,AB=10,AD= ,E,F 分别为 AD,BC 的中点,现分别将ABE,102CDF 沿 BE,DF 折起,且 A、C 在平面 BFDE 同侧,下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)当平面 ABE平面 CDF 时,AC平面 BFDE当平面 ABE平面 CDF 时,AECD当 A、C 重合于点 P 时,PGPD当 A、C 重合于点 P 时,三棱锥 P-DEF 的外接球的表面积为 150三、解答题17已知ABC
5、 的角 A，B，C 所对的边分别是 设向量 ， ， （1）若 ，试判断ABC 的形状并证明； （2）若 ，边长 ，C= ，求ABC 的面积18已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对任意 ，满足nanS*N13nnSa（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： nb2lognnanbnT89n19假定某人在规定区域投篮命中的概率为 ，现他在某个投篮游戏中，共投篮 3 次.（1）求连续命中 2 次的概率；（2）设命中的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 .- 4 -20如图，四棱锥 ，底面 是正方形， ， ， ， 分别是 ， 的中点.（1）求证 ；（2）
6、求二面角 的余弦值.21在直角坐标系 中，动圆 与圆 外切，且圆 与直线 相切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的轨迹方程；（2）设过定点 的动直线 与曲线 交于 两点，试问：在曲线 上是否存在点 （与两点相异） ，当直线 的斜率存在时，直线 的斜率之和为定值？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由22已知函数 的最大值为 ， lnfxb1e的图像关于 轴对称.2gxay（1）求实数 ， 的值.（2）设 ，则是否存在区间Fgxf- 5 -，使得函数 在区间 上的值域为 ,若存在，,1,mnFx,mn2,kmn求实数 的取值范围；若不存在，请说明理由.k2018-2019（上）高三
7、第四次月考数学试卷（理科）参考答案1D 因为 ，即 ，得 ，令 ，得 ，所以 ，2C 设区域 的面积约为 ，根据题意有： ，解得 ，故选 C.3B 三角形中，大角对大边，它的正弦值也大，故命题 为真命题.当 时，方程的判别式 无法判断正负，故 为假命题，所以 ， 以及 都是假命题， 为真命题.4D 等比数列 的前 n 项和为 Sn=m+ .所以有.由等比数列有：，即得 .故选 D.5A 解：函数 f（x）是奇函数，且满足 f（x）= ，f（5）=f（5）=f（3）=f（1）=（12）=1故选：A6D 因为 的通项公式为 ， =x +（-2） =(5m-2) ，=5m-2，又 ， 5m-2=-7
8、, m=-1, =2，故选 D.7C 根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱如图所示：故该几何体的体积为：V= 故选：C8C 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）=sin2（x- ）- =sin（2x- ）的图象，当 x= 时，求得 g（x）=0，不是最值，故 g（x）的图象不关于直线x= 对称，故排除 A当 x= 时，g（x）= sin 0，故 g（x）的图象不关于点 对称，故排除 B；在 上，2x- ，sin（2x- ）单调递增，故 g（x）单调递增，故 C 正确；故选C- 6 -9C 第一次循环 ,第二次循环 ,第三次循环 ,第四次循环 ,第五次循环 ,第六次循环 ,
9、第七次循环 ,第八次循环 ,第九次循环 满足题意,此时输出 k 为 9,故选 C.10D 解：根据题意， 是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 ，且 ， ，直线 MN 过焦点 F，则 ，则有 ，变形可得 ， ， ，又由 ，且 ，变形可得： ，又由 ，则 ，解可得： ， ，则要求双曲线的方程为： ； 11C 总分为 ， ，只有 种可能 或 ，若 、 、 分别为 、 、 时，若乙在“听”中得 第 名，得 分，即使他在剩下三场比赛中都得第 名，得分 ，不符合要求，故 、 、分别为 、 、 ，乙的得分组成只能“听” 、 “说” 、 “读” 、“写”分别得分 、 、 、 分，即乙
10、在“听”这场竞赛中获得了第一名，其余均为第三名，由于甲得分为 分，其得分组成只能是“听” 、 “说” 、 “读” 、 “写”分别得分 、 、 、分，在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为 、 、 分，故获得第三名的只能是丙，故选 12A 解：由关于 x 的方程，令 ，则有，令函数 ， ， 在 递增，在 递减，其图象如下：要使关于 x 的方程关于 x 的方程 有 3 个不相等的实数解 ， ， ，且，结合图象可得关于 t 的方程 一定有两个实根 ， ，- 7 -且 ， ， ，可得 ，故选： A13 由题易知点 O 为 BC 的中点，即 BC 为圆 O 的直径，故在 ABC 中， BC 对应的角 A
11、 为直角，即 AC 与 AB 的夹角为 90.14由约束条件 作出可行域如图，联立 ，解得 ，联立 ，解得，由图可知，当目标函数 过 时， 有最小值为 ；当目标函数 过 时， 有最大值为 ，故答案为 .152 直径所对的圆周角为直角，故 ，双曲线焦点到渐近线的距离为 ，所以，故直角三角形 的面积为 ，联立方程 ，解得 .16【解析】 在 中， ，在 中， ，所ABE2tanACD2tanA以 ，ABEDC由题意，将 沿 折起,且 在平面 同侧，,FD,BEF此时 四点在同一平面内，平面 平面 ，,GHGH平面 平面 ，当平面 平面 时，得到 ,F/ /显然 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ,
12、A/AC进而得到 平面 ，所以正确的；/ABE由于折叠后，直线 与直线 为异面直线，所以 与 不平行，所以错误的；CED折叠后，可得 , ，其中 ,ZE ，所以103P10PD1022PGD和 不垂直，所以不正确；当 重合于点 时,在三棱锥 中， GD,AEF和 均为直角三角形，所以 为外接球的直径，即 ,则三棱EFF562R锥 的外接球的表面积为 ，所以是正确，综上正确P2256410R命题的序号为.17详解：（1）ABC 为等腰三角形； 证明： =（a，b） ， （sinB，sinA） ， ， ， 即 = ，其中 R 是ABC 外接圆半径， ABC 为等腰三角形 （2） ，由题意 ， 由余
13、弦定理可知，4=a 2+b2ab=（a+b） 23ab 即（ab） 23ab4=0，ab=4 或ab=1（舍去） - 8 -S= absinC= 4sin = 18 （1） .（2）见解析.4na（1）当 时， ， ， . ，当113Sa10a1413nSa时， ，两式相减得 ，因 ， ，故 ，2n1nnS4n014n数列 是首项为 4，公比为 4 的等比数列， .a n（2） ， ， ， 2lognnb12b12346nT，两式相减得：2341164T 23144nn n .所以 .1111268423nnn689nnT19 （1） ；（2）见解析.（1）设 表示第 次投篮命中， 表示第 次
14、投篮不中；设投篮连续命中 2 次为事件 ，则 = （2）命中的次数 可取 0，1，2，3； ， ，, ,所以 答： 的数学期望为 220(1)见解析;(2) .试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， ， 是正方形， ，又 ， ， ， 面 ， ，又 ， ， 都是中点， ， 面 ， ；（2）建立如图空间直角坐标系，由题意得 ， ， ， ，则， ， ，0 1 2 3- 9 -设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，得 ，同理得平面 的法向量为 ， ，所以他的余弦值是 .21 （1） ；（2）答案见解析.【详解】 （1）设 P（ x， y） ，圆 P 的半径为 r，因为动圆 P 与圆 Q：（
15、x2） 2 y21 外切，所以 ， 又动圆 P 与直线 x1 相切，所以 r x1，由消去 r 得 y28 x，所以曲线 C 的轨迹方程为 y28 x（2）假设存在曲线 C 上的点 M 满足题设条件，不妨设 M（ x0， y0） ， A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 ， ， ， ， ，所以 ，显然动直线 l 的斜率存在且非零，设 l： x ty2，联立方程组 ，消去 x 得 y28 ty160，由 0 得 t1 或 t1， 所以 y1 y28 t， y1y216，且 y1 y2，代入式得 ，令 （ m 为常数） ，整理得 ，因为式对任意 t（，1）（1，）恒成立，所以 ，所
16、以 或 ，即 M（2，4）或 M（-2，4） ，即存在曲线 C 上的点 M（2，4）或 M（-2，4）满足题意22 （1） ， .（2）见解析.0ab（1）由题意得 ，令 ，解得 ，当 时， ln1fx0fx1xe10,e，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.fx,effx所以当 时， 取得极大值，也是最大值，所以 ，解得 .efx 1bee0又 的图像关于 轴对称，所以 ，解得 .2gxay02a（2）由（1）知 ， ，则 ，所以lnfxgx2lnFxx- 10 -，令 ，则 对2ln1Fx2ln1xFx120x恒成立，,所以 在区间 内单调递增，所以 恒成立，所以函数, F在区间 内单调递增.x1假设存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域是,mnx,mn，2k则 ，问题转化为关于 的方程2 Flknx在区间 内是否存在两个不相等的实根，即方程2lnxkx1,在区间 内是否存在两个不相等的实根，令 ， k 2lnxh，则 ，1,x2234lnxh设 ， ，则234lnpx 1,x对 恒成立，所以函数 在区间1 0xx1,xp内单调递增，故 恒成立，所以 ，所以函数 在区间1, p0hxh内单调递增，所以方程 在区间 内不存在两个不相等的实根.2lnkx,综上所述，不存在区间 ，使得函数 在区间 上的值域是,1,mnF,mn.2,k
