1、- 1 -江西省宜丰中学 2019 届高三数学上学期第四次月考试题 理一、单选题1设集合 , ,则 ( )A B C D 2如下图,在边长为 4 的正方形内有区域 (阴影部分所示) ,现从整个图形中随机取一点,若此点取自区域 外的概率为 0.4,则区域 的面积为( )A 4 B 9 C 9.6 D 6.43命题 : 中,若 ,则 ;命题 :若 ,则方程 一定无实根,则下列命题为真命题的是( )A B C D 4已知等比数列 的前 n 项和为 Sn=m+ 则 m=( )A 1 B -1 C D 5已知函数 是奇函数,且满足 ,则 =( )A 1 B 1 C 3 D 36将多项式 分解因式得 ,
2、为常数,若,则 ( )A -2 B -1 C 1 D 27某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积(单位:cm3)是 ( )A 2 B 4 C 6 D 8- 2 -8将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象,则( )A 图象关于直线 对称 B 图象关于点 中心对称C 在区间 单调递增 D 在区间 上单调递减9执行如图所示的程序框图,则输出的 ( )A B C D 10若双曲线的中心为原点, 是双曲线的焦点,过 F 直线 l 与双曲线交于 M, N 两点,且 MN 的中点为 ,则双曲线的方程为A B C D 11某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题分别为“听” 、
3、 “说” 、 “读” 、 “写”四场竞赛规定:每场竞赛的前三名得分分别为 , , ( ,且 , , ) ,选手的最终得分为各场得分之和最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在四场竞赛中,已知甲最终分为 分,乙最终得分为 分,丙最终得分为 分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“听”这场竞赛的第三名是( )A 甲 B 乙 C 丙 D 甲和丙都有可能12若关于 x 的方程 有三个不等的实数解 , , ,且 ,其中, 为自然对数的底数,则 的值为 A B e C D 二、填空题13已知 A, B, C 为圆 O 上的三点,若 ( ),则 与 的夹角为_14设 满足约束条件 ,则 的取值范围为
4、_15已知离心率 的双曲线 的右焦点为 , 为坐标原点,以 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线相交于 两点若 的面积为 1,则实数 的值为_- 3 -16如图,一张矩形白纸 ABCD,AB=10,AD= ,E,F 分别为 AD,BC 的中点,现分别将ABE,102CDF 沿 BE,DF 折起,且 A、C 在平面 BFDE 同侧,下列命题正确的是_(写出所有正确命题的序号)当平面 ABE平面 CDF 时,AC平面 BFDE当平面 ABE平面 CDF 时,AECD当 A、C 重合于点 P 时,PGPD当 A、C 重合于点 P 时,三棱锥 P-DEF 的外接球的表面积为 150三、解答题17已知ABC
5、 的角 A,B,C 所对的边分别是 设向量 , , (1)若 ,试判断ABC 的形状并证明; (2)若 ,边长 ,C= ,求ABC 的面积18已知各项均不为零的数列 的前 项和为 ,且对任意 ,满足nanS*N13nnSa(1)求数列 的通项公式;(2)设数列 满足 ,数列 的前 项和为 ,求证: nb2lognnanbnT89n19假定某人在规定区域投篮命中的概率为 ,现他在某个投篮游戏中,共投篮 3 次.(1)求连续命中 2 次的概率;(2)设命中的次数为 X,求 X 的分布列和数学期望 .- 4 -20如图,四棱锥 ,底面 是正方形, , , , 分别是 , 的中点.(1)求证 ;(2)
6、求二面角 的余弦值.21在直角坐标系 中,动圆 与圆 外切,且圆 与直线 相切,记动圆圆心 的轨迹为曲线 (1)求曲线 的轨迹方程;(2)设过定点 的动直线 与曲线 交于 两点,试问:在曲线 上是否存在点 (与两点相异) ,当直线 的斜率存在时,直线 的斜率之和为定值?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由22已知函数 的最大值为 , lnfxb1e的图像关于 轴对称.2gxay(1)求实数 , 的值.(2)设 ,则是否存在区间Fgxf- 5 -,使得函数 在区间 上的值域为 ,若存在,,1,mnFx,mn2,kmn求实数 的取值范围;若不存在,请说明理由.k2018-2019(上)高三
7、第四次月考数学试卷(理科)参考答案1D 因为 ,即 ,得 ,令 ,得 ,所以 ,2C 设区域 的面积约为 ,根据题意有: ,解得 ,故选 C.3B 三角形中,大角对大边,它的正弦值也大,故命题 为真命题.当 时,方程的判别式 无法判断正负,故 为假命题,所以 , 以及 都是假命题, 为真命题.4D 等比数列 的前 n 项和为 Sn=m+ .所以有.由等比数列有:,即得 .故选 D.5A 解:函数 f(x)是奇函数,且满足 f(x)= ,f(5)=f(5)=f(3)=f(1)=(12)=1故选:A6D 因为 的通项公式为 , =x +(-2) =(5m-2) ,=5m-2,又 , 5m-2=-7
8、, m=-1, =2,故选 D.7C 根据三视图:该几何体为底面为直角梯形的四棱柱如图所示:故该几何体的体积为:V= 故选:C8C 将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x)=sin2(x- )- =sin(2x- )的图象,当 x= 时,求得 g(x)=0,不是最值,故 g(x)的图象不关于直线x= 对称,故排除 A当 x= 时,g(x)= sin 0,故 g(x)的图象不关于点 对称,故排除 B;在 上,2x- ,sin(2x- )单调递增,故 g(x)单调递增,故 C 正确;故选C- 6 -9C 第一次循环 ,第二次循环 ,第三次循环 ,第四次循环 ,第五次循环 ,第六次循环 ,
9、第七次循环 ,第八次循环 ,第九次循环 满足题意,此时输出 k 为 9,故选 C.10D 解:根据题意, 是双曲线的焦点,则双曲线的焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为 ,且 , ,直线 MN 过焦点 F,则 ,则有 ,变形可得 , , ,又由 ,且 ,变形可得: ,又由 ,则 ,解可得: , ,则要求双曲线的方程为: ; 11C 总分为 , ,只有 种可能 或 ,若 、 、 分别为 、 、 时,若乙在“听”中得 第 名,得 分,即使他在剩下三场比赛中都得第 名,得分 ,不符合要求,故 、 、分别为 、 、 ,乙的得分组成只能“听” 、 “说” 、 “读” 、“写”分别得分 、 、 、 分,即乙
10、在“听”这场竞赛中获得了第一名,其余均为第三名,由于甲得分为 分,其得分组成只能是“听” 、 “说” 、 “读” 、 “写”分别得分 、 、 、分,在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为 、 、 分,故获得第三名的只能是丙,故选 12A 解:由关于 x 的方程,令 ,则有,令函数 , , 在 递增,在 递减,其图象如下:要使关于 x 的方程关于 x 的方程 有 3 个不相等的实数解 , , ,且,结合图象可得关于 t 的方程 一定有两个实根 , ,- 7 -且 , , ,可得 ,故选: A13 由题易知点 O 为 BC 的中点,即 BC 为圆 O 的直径,故在 ABC 中, BC 对应的角 A
11、 为直角,即 AC 与 AB 的夹角为 90.14由约束条件 作出可行域如图,联立 ,解得 ,联立 ,解得,由图可知,当目标函数 过 时, 有最小值为 ;当目标函数 过 时, 有最大值为 ,故答案为 .152 直径所对的圆周角为直角,故 ,双曲线焦点到渐近线的距离为 ,所以,故直角三角形 的面积为 ,联立方程 ,解得 .16【解析】 在 中, ,在 中, ,所ABE2tanACD2tanA以 ,ABEDC由题意,将 沿 折起,且 在平面 同侧,,FD,BEF此时 四点在同一平面内,平面 平面 ,,GHGH平面 平面 ,当平面 平面 时,得到 ,F/ /显然 ,所以四边形 是平行四边形,所以 ,
12、A/AC进而得到 平面 ,所以正确的;/ABE由于折叠后,直线 与直线 为异面直线,所以 与 不平行,所以错误的;CED折叠后,可得 , ,其中 ,ZE ,所以103P10PD1022PGD和 不垂直,所以不正确;当 重合于点 时,在三棱锥 中, GD,AEF和 均为直角三角形,所以 为外接球的直径,即 ,则三棱EFF562R锥 的外接球的表面积为 ,所以是正确,综上正确P2256410R命题的序号为.17详解:(1)ABC 为等腰三角形; 证明: =(a,b) , (sinB,sinA) , , , 即 = ,其中 R 是ABC 外接圆半径, ABC 为等腰三角形 (2) ,由题意 , 由余
13、弦定理可知,4=a 2+b2ab=(a+b) 23ab 即(ab) 23ab4=0,ab=4 或ab=1(舍去) - 8 -S= absinC= 4sin = 18 (1) .(2)见解析.4na(1)当 时, , , . ,当113Sa10a1413nSa时, ,两式相减得 ,因 , ,故 ,2n1nnS4n014n数列 是首项为 4,公比为 4 的等比数列, .a n(2) , , , 2lognnb12b12346nT,两式相减得:2341164T 23144nn n .所以 .1111268423nnn689nnT19 (1) ;(2)见解析.(1)设 表示第 次投篮命中, 表示第 次
14、投篮不中;设投篮连续命中 2 次为事件 ,则 = (2)命中的次数 可取 0,1,2,3; , ,, ,所以 答: 的数学期望为 220(1)见解析;(2) .试题解析:(1)取 中点 ,连结 , , 是正方形, ,又 , , , 面 , ,又 , , 都是中点, , 面 , ;(2)建立如图空间直角坐标系,由题意得 , , , ,则, , ,0 1 2 3- 9 -设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,令 ,则 , ,得 ,同理得平面 的法向量为 , ,所以他的余弦值是 .21 (1) ;(2)答案见解析.【详解】 (1)设 P( x, y) ,圆 P 的半径为 r,因为动圆 P 与圆 Q:(
15、x2) 2 y21 外切,所以 , 又动圆 P 与直线 x1 相切,所以 r x1,由消去 r 得 y28 x,所以曲线 C 的轨迹方程为 y28 x(2)假设存在曲线 C 上的点 M 满足题设条件,不妨设 M( x0, y0) , A( x1, y1) , B( x2, y2) ,则 , , , , ,所以 ,显然动直线 l 的斜率存在且非零,设 l: x ty2,联立方程组 ,消去 x 得 y28 ty160,由 0 得 t1 或 t1, 所以 y1 y28 t, y1y216,且 y1 y2,代入式得 ,令 ( m 为常数) ,整理得 ,因为式对任意 t(,1)(1,)恒成立,所以 ,所
16、以 或 ,即 M(2,4)或 M(-2,4) ,即存在曲线 C 上的点 M(2,4)或 M(-2,4)满足题意22 (1) , .(2)见解析.0ab(1)由题意得 ,令 ,解得 ,当 时, ln1fx0fx1xe10,e,函数 单调递增;当 时, ,函数 单调递减.fx,effx所以当 时, 取得极大值,也是最大值,所以 ,解得 .efx 1bee0又 的图像关于 轴对称,所以 ,解得 .2gxay02a(2)由(1)知 , ,则 ,所以lnfxgx2lnFxx- 10 -,令 ,则 对2ln1Fx2ln1xFx120x恒成立,,所以 在区间 内单调递增,所以 恒成立,所以函数, F在区间 内单调递增.x1假设存在区间 ,使得函数 在区间 上的值域是,mnx,mn,2k则 ,问题转化为关于 的方程2 Flknx在区间 内是否存在两个不相等的实根,即方程2lnxkx1,在区间 内是否存在两个不相等的实根,令 , k 2lnxh,则 ,1,x2234lnxh设 , ,则234lnpx 1,x对 恒成立,所以函数 在区间1 0xx1,xp内单调递增,故 恒成立,所以 ,所以函数 在区间1, p0hxh内单调递增,所以方程 在区间 内不存在两个不相等的实根.2lnkx,综上所述,不存在区间 ,使得函数 在区间 上的值域是,1,mnF,mn.2,k