1、12.3 数学归纳法(1)一、教学内容:推理与证明(第七课时)理科:数学归纳法(1)二、教学目标:1了解归纳法的意义,培养学生观察、归纳、发现的能力2了解数学归纳法的原理,能以递推思想作指导,理解数学归纳法的操作步骤3重点训练等式问题和数列问题3、课前预习对于数列an,已知 1a, nn1(n=1,2,), 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳,猜想其通项公式四、讲解新课(一)创设情景对于数列an,已知 1a, nn1(n=1,2,), 通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳,猜想其通项公式为 n 。这个猜想是否正确需要证明。一般来说,与正整数 n 有关的命题,当 n 比较小时可
2、以逐个验证,但当 n 较大时,验证就很麻烦。特别是 n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此,我们需要寻求一种方法:通过有限个步骤的推理,证明 n 取所有正整数都成立。(二)研探新知1、了解多米诺骨牌游戏。可以看出,只要满足以下两条件,所有多米诺骨牌就都能倒下:(1)第一块骨牌倒下;(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下。 思考:你认为条件(2)的作用是什么?可以看出,条件(2)事实上给出了一个递推关系:当第 k 块倒下时,相邻的第 k+1 块也倒下。这样,要使所有的骨牌全部倒下,只要保证(1) (2)成立。2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。思考:你认为证明数列的通过公式是
3、 na1这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?分析: 多米诺骨牌游戏原理通项公式 na1的证明方法(1)第一块骨牌倒下。 (1)当 n=1 时 a1=1,猜想成立(2)若第 k 块倒下时,则相邻的第 k+1 块也倒下。(2)若当 n=k 时猜想成立,即 k1,则当 n=k+1 时猜想也成立,即 1k 。2根据(1)和 (2) ,可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下。根据(1)和(2) ,可知对任意的正整数 n,猜想都成立。3、数学归纳法的原理一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行:(1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题
4、成立;(2) (归纳递推)假设 n=k( k,0)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法 注意:(1)这两步步骤缺一不可。 (2)用数学归纳法证明命题时,难点和关键都在第二步,而在这一步主要在于合理运用归纳假设,结合已知条件和其他数学知识,证明“当 n=k+1 时命题成立” 。(3)数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析。4、例题讲解例 1 用数学归纳法证明:如果a n是一个等差数列,那么 an=a1+(n1)d 对一切
5、nN *都成立.练习 1:用数学归纳法证明:如果a n是一个等比数列,那么 an=a1 q对一切 nN *都成立.例 2 用数学归纳法证明:1+3+5+(2n1)=n 2.练习 2:用数学归纳法证明“1 22 23 2n 2 n(n1)(2n1)(nN *)”165、课堂练习1. 若 f(n)1 (nN ),则 n1 时,f(n)_.12 13 12n 12. 用数学归纳法证明不等式“2 nn21 对于 nn 0的自然数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0应取为_3、用数学归纳法证明等差数列的求和公式(1) 34、已知 a1= 2,an+1= 3,(1) a2,a3,a4,a5的值;(2)猜想 an;(3)用数学归纳法证明你的结论。