1、- 1 -20172018学年第二学期高二期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分,共 60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合 A,再判断选项的正误得解.【详解】由题得集合 A= ,所以 ,AB=0,故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知 ( 为虚数单位) ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题得 ，再利用复数的除法计算得解.【详解】由题得 ，故答案为：B【点睛】本题主要考查复数的运
2、算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.3.函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 2 -利用奇函数的性质求出 的值.【详解】由题得 ，故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数 f(-x)=-f(x).4.下列命题中，真命题是A. 若 ，且 ，则 中至少有一个大于 1B. C. 的充要条件是D. 【答案】A【解析】【分析】逐一判断每一个选项的真假得解.【详解】对于选项 A,假设 x1，y1，所以 x+y2，与已知矛盾，所以原命题正确.当 x=2时，2
3、x=x2，故 B错误当 a=b=0时，满足 a+b=0，但 =1 不成立，故 a+b=0的充要条件是 =1 错误，xR，e x0，故x 0R， 错误，故正确的命题是 A，故答案为：A【点睛】 （1）本题主要考查命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假，考查充要条件和反证法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）对于含有“至少”“至多”的命题的证明，一般利用反证法.5.已知抛物线方程为 ，则该抛物线的焦点坐标为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】- 3 -先求出 p的值，再写出抛物线的焦点坐标.【详解】由题得 2p=4,所以 p=2,所以抛物线的焦点坐标
4、为（1,0）.故答案为：C【点睛】 （1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)抛物线 的焦点坐标为 .6.因为对数函数 是增函数，而 是对数函数，所以 是增函数，上面的推理错误的是A. 大前提 B. 小前提 C. 推理形式 D. 以上都是【答案】A【解析】【分析】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”是错误的，所以选 A.【详解】由于三段论的大前提“对数函数 是增函数”是错误的，只有当a1时，对数函数 才是增函数，故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查三段论，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)一个三段论，只有大前提正确，小前
5、提正确和推理形式正确，结论才是正确的.7.设 ， ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先证明 c0,b0,再证明 b1,a0,b0.所以 .故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“1”比.- 4 -8.已知向量 ， ，若 ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据 得到 ，解方程即得 x的值.【详解】根据 得到 .故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(
6、2) 如果 = , = ，则 | 的充要条件是 .9.若 则 的值为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先计算出 f(2)的值，再计算 的值.【详解】由题得 f(2)= ,故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)分段函数求值关键是看自变量在哪一段.10.已知 为等比数列, , ,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，由等比数列性质可知- 5 -考点：等比数列性质视频11.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A. 72 cm3 B. 90 cm3 C. 10
7、8 cm3 D. 138 cm3【答案】B【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别是：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是 4，3；高是 3；其几何体的体积为：V=346+ 343=90（cm3） 故答案选：B12.已知定义在 上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函数.，若方程在区间 上有四个不同的根 ，则A. -8 B. -4 C. 8 D. -16【答案】A【解析】【分析】由条件“f（x4）=f（x） ”得 f（x+8）=f（x） ，说明此函数是周期函数，又是奇函数，- 6 -且在0，2上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题【详解】f(x
8、-8)=f(x-4)-4=-f(x-4)=-f(x)=f(x),所以函数是以 8为周期的函数，函数是奇函数，且在0，2上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为 2（6）=-12，另两个交点的横坐标之和为 22=4，所以 x1+x2+x3+x4=8故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查函数的图像和性质（周期性、奇偶性和单调性） ，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出函数的周期，画出函数的草图，利用数形结合分析解答.二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分。13.已知幂函数 的图象
9、过点 ，则 _【答案】3【解析】【分析】先设出幂函数的解析式为 ，利用图象过点 求出 a的值，再求 f(9)的值.【详解】设幂函数为 .故答案为：3【点睛】(1)本题主要考查幂函数的解析式的求法和应用，意在考查学生对这些知识的掌握- 7 -水平和分析推理计算能力.(2)求幂函数的解析式，一般利用待定系数法.14.设函数 是偶函数，则 _.【答案】【解析】【分析】根据 f(-x)=f(x)即得 a的值.【详解】由题得 f（-x）=f(x),所以（-x+1）(-x+a)=(x+1)(x+a),所以（a+1）x=0 对于 xR恒成立，所 a+1=0,所以 a=-1.故答案为：-1【点睛】 （1）本题
10、主要考查偶函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)偶函数满足 f（-x）=f(x)对定义域内的每一个值都成立.15.函数 的最小值是 _【答案】5【解析】【分析】先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得 +1 .(当且仅当 即 x=2时取等)故答案为：5【点睛】 （1）本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值等） ，然后变形，配凑出基本不等式的条件.本题解题的关键是变形 +1.16.已知三棱锥 中， , ，则三棱锥 的外接球的表面
11、积为_.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理可判断 ADAB，ABBC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积- 8 -【详解】如图：AD=2，AB=1，BD= ，满足 AD2+AB2=SD2ADAB，又 ADBC，BCAB=B，AD平面 ABC，AB=BC=1，AC= ，ABBC，BC平面 DAB，CD 是三棱锥的外接球的直径，AD=2，AC= ，CD= ，三棱锥的外接球的表面积为 4（ ） 2=6故答案为：6【点睛】(1)本题主要考查三棱锥的外接球的表面积的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求几何体外接球
12、的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径 .如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心 和截面圆的圆心 ，找到 、球的半径 、截面圆的半径 确定的 ,再解 求出球的半径 .(3)解答本题的关键是证明 CD是三棱锥的外接球的直径.三、解答题：本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.在锐角三角形 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1
13、） ；（2）1- 9 -【解析】【分析】(1)利用二倍角公式化简 即得 A的值.(2)先利用正弦定理化简 得，再利用余弦定理求 a的值.【详解】 , 又因为 为锐角三角形， ， ， . ， ， .【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18. 4月 23日是“世界读书日” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了 100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于 60分钟的学生称为“读书
14、谜” ，低于 60分钟的学生称为“非读书谜”（1）求 的值并估计全校 3000名学生中读书谜大概有多少？（将频率视为概率）（2）根据已知条件完成下面 22的列联表，并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷 读书迷 合计男 15女 45- 10 -合计附： .0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828【答案】 （1） 人；（2）列联表如下：非读书迷 读书迷 合计男 40 15 55女 20 25 45合计 60 40 100有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关【解析】试题分析：（1）由频率分布
15、直方图算出“读书迷”的频率，总人数乘以频率即可求出“读书迷”的人数；（2）由频率分布直方图求出“读书迷”与“非读书迷”的人数，再根据表中数据可求出相应的男女人数，填入表格即可得到列联表，将表中数据代入所给公式求出 观察值，由临界- 11 -值可得出结论.试题解析： （1）由已知可得：（0.01+0.02+0.03+x+0.015）10=1，可得 x=0.025， 因为（ 0.025+0.015）10=0.4，将频率视为概率，由此可以估算出全校 3000名学生中读书迷大概有 1200人. （2）完成下面的 22列联表如下非读书迷 读书迷 合计男 40 15 55女 20 25 45合计 60 4
16、0 1008分., 有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关.考点：1.独立性检验；2.频率分布直方图.19.如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 是直角梯形, , , 是线段 的中点.证明： 平面 ；若 ,求三棱锥 的体积.- 12 -【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证明 PC底面 ABCD,再证明 平面 .(2)先求出 PC的长度，再求三棱锥的体积.【详解】 （1）证明：取 AB的中点 M，连接 CM，四边形 CDAM为正方形，CM=MA=MB,ACCB,所以 AC平面 PBC. , ,在 RtPCA 中，,而 , .【点睛】 （1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查
17、几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）求几何体的体积常用是有公式法、割补法和体积变换法.20.设 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆的上顶点，且 .（1）若椭圆 的离心率为 ，求椭圆 的方程；（2）设 为椭圆 上一点，且在第一象限内，直线 与 轴相交于点 ，若以 为直径的圆经过点 ，证明：点 在直线 上.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据题意得到关于 a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆 E的方程.(2) 设 ，根据以为直径的圆经过点 得到 ，再根据 为椭圆 上一点得- 13 -，解方程组得 ，即证点
18、 在直线 上.【详解】 （1） 点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆 的上顶点，又 ， ，椭圆 的方程为： . （2）证明：由题意知 ，从而椭圆 的方程为： ，则：， ，设 ，由题意知 ，则直线 的斜率 ，直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，当 时， ，即点 ， 直线 的斜率 ， 以 为直径的圆经过点 ，化简得 ，又 为椭圆 上一点，且在第一象限内， ，由解得 ， ，即点 在直线 上.【点睛】 （1）本题主要考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是根据以 为直径的圆经过点
19、得到 .21.设函数 在点 处的切线方程为 .（1）求 的值，并求 的单调区间；（2）证明：当 时， .- 14 -【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义求出 a,b的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为，再构造函数 证明其最大值小于 1即得证.【详解】 ，由已知， ，故 a=-2,b=-2.，当 时， ，当 时， ，故 f(x)在 单调递减，在 单调递减； ，即 ，设 ，所以 g(x)在 递增，在 递减，当 x0 时， .【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握
20、水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为证明 .22.已知直线 的参数方程是 ，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线 与 轴的交点是 ， 是曲线 上一动点，求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)直接利用极坐标公式化曲线 C为直角坐标方程.（2）由题意知 ,利用两点间的距离公式求出|MN|,再利用三角函数知识求其最大值.- 15 -【详解】由题得 .由题意知 ,，当 时， .【点睛】(1)本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查距离最值的求法，意在考查学
21、生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.23.设函数 .（1）解不等式 ；（2）求函数 的最大值 .【答案】 （1） ；（2）3【解析】【分析】（1）利用零点分类讨论法解不等式 .(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.【详解】当 x-1 时， ；当-1x2 时， ， ；当 时， ， ；综上，不等式 的解集为 ； ，由其图知， .【点睛】(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.
