1、13.7 正多边形一、选择题12017北京若正多边形的一个内角是 150，则该正多边形的边数是( )A6 B12C16 D1822017苏州如图 1，在正五边形 ABCDE 中，连结 BE，则 ABE 的度数为( )图 1A30 B36 C54 D723一元钱硬币的直径约为 24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A12 mm B12 mm3C6 mm D6 mm34如图 2，正五边形 ABCDE 内接于 O， M 为 BC 的中点， N 为 DE 的中点，则 MON 的大小为( )图 2A108 B144 C150 D16652015杭州 如图 3，已知点 A，B，C
2、，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，连结任意两点均可得到一条线段在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为( )32图 3A. B. C. D.14 25 23 5962017河北已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 的边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图 4 所示按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离可能是( )图 4A1.4 B
3、1.1 C0.8 D0.5二、填空题72017湖州已知一个多边形的每一个外角都等于 72，则这个多边形的边数是_82017资阳边长相等的正五边形和正六边形如图 5 所示拼接在一起，则ABC_度图 592017玉林如图 6，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形，则四边形的周长是_3图 6102017咸宁如图 7，边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点 O 重合，AFx 轴，将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转 n 次，每次旋转 60，当 n2017 时，顶点 A 的坐标为_.图 711如图 8，已知正十二边形 A1A2A12，连结
4、 A3A7，A 7A10，则A 3A7A10_.图 8三、解答题12若一个正六边形的周长为 24，求该正六边形的面积413如图 9 所示，在O 中， .求证：六边形 ABCDEF 是正六AB BC CD DE EF FA 边形图 914作图与证明：如图 10，已知O 和O 上的一点 A，请完成下列任务：(1)作O 的内接正六边形 ABCDEF；(2)连结 BF，CE，判断四边形 BCEF 的形状并加以证明.5图 1015如图 11 所示，已知正五边形 ABCDE，M 是 CD 的中点，连结 AC，BE，AM.求证：(1)ACBE；(2)AMCD.图 11616 如图 12，有六个矩形水池环绕，
5、矩形的内侧一边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为 4 m要从水源点 P(正六边形的中心)处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是多少米？(所有管道都在同一平面内，结果保留根号)图 1271答案B2答案B3答案A4解析B M 为 BC 的中点，N 为 DE 的中点，OMBC，ONDE，OMCOND90.五边形 ABCDE 是正五边形，CD(52)1805108，MON(52)1802902108144.故选 B.5解析B 如图，连结 AF，EF，AE，过点 F 作 FNAE 于点 N，点 A，B，C，D，E，F 是边长为 1 的正六边形的顶点，AFEF1，AFE120，
6、FAE30，AN ，32AE ，同理可得：AC .3 3故连结两点所得的所有线段一共有 15 种情况，任取一条线段，取到长度为 的线段有36 种情况，则在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为 的线段的概率为 .3256解析 C 在第一次旋转中 BM1，在第二次旋转中 BM1，在第三次旋转中 BM 的长从 1 变化到 1，在第四次旋转中 BM 的长从 2 变化到 1，在第五次旋转中 BM3 2 3的长从 1 变化到 1，在第六次旋转中 BM1.故选 C.37答案 588答案 24 解析正六边形的每一个内角 (62)180120，正五边形的每一个内角16 (52)180108，BAC3
7、60(120108)132.两个正多边形15的边长相等，即 ABAC，ABC (180132)24.129答案 8 8210答案 (2，2 )3解析 如图所示，连结 OA，设 AF 与 y 轴交于点 M，则AOB 为等边三角形正六边形 ABCDEF 的边长为 4，OAABOB4，OAM60，点 B 的坐标为(4，0)AFx 轴，AMO90，AM OA2，OM2 ，12 3点 A 的坐标为(2，2 )3正六边形是轴对称图形，点 C 的坐标为(2，2 )，点 D 的坐标为(2，2 )，3 3点 F 的坐标为(2，2 )，点 E 的坐标为(4，0)3将正六边形 ABCDEF 绕原点 O 顺时针旋转
8、n 次，每次旋转 60，每旋转 6 次，点 A 都回到初始位置当 n2017 时，201763361，顶点 A 旋转到点 F 的位置，顶点 A 的坐标为(2，2 )311答案 7512解： 如图，9AOB360660，OAOB，AOB 为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形，S AOB 4 ，S 正六边形 64 24 .3 3 313. 解析 由弧相等得到弦相等，从而证得该六边形的六条边相等，由弧相等也可以证得该六边形的六个内角也相等证明： ，AB BC CD DE EF FA ABBCCDDEEFFA(等弧所对的弦相等) ，BCF CEA BED CAE DAF AC
9、E ABCDEF(等弧所对的圆周角相等)，六边形 ABCDEF 为正六边形14解：(1)如图，首先作直径 AD，然后分别以 A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交O 于点 B，F，C，E，连结 AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF 即为所求(2)四边形 BCEF 是矩形证明：如图，连结 OE，BF，CE.六边形 ABCDEF 是正六边形，ABAFDEDC，FEBC.10 ，AB AF DE DC ，BFCE，BF CE 四边形 BCEF 是平行四边形六边形 ABCDEF 是正六边形，FEDEDC120，DEDC，DEC30，FEC1203090，四边形 BCEF 是矩形15证明：(1)五边形 ABCDE 为正五边形，BCAE，ABCBAE108.又在ABC 与BAE 中，AB 边为公共边，ABCBAE，ACBE.(2)连结 AD，易证ACBADE(SAS)，则 ACAD.又M 为 CD 的中点，则 AMCD.16 解：如图，过点 P 作 PHAB 于点 H，连结 PB.多边形 ABCDEF 是正六边形，PBAB4 m，BH AB2 m.12在 RtBPH 中，由勾股定理，得 PH 2 (m)，PB2 BH2 42 22 32 6 12 (m)3 3即从水源点 P(正六边形的中心)处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是12 m.311
