1、1专题 07 圆锥曲线一、选择题1. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】已知双曲线 的左，右焦点分别为 过右焦点的直线 在第一象限内与双曲线 E 的渐近线交于点 P，与 y 轴正半轴交于点Q，且点 P 为 的中点， 的面积为 4，则双曲线 E 的方程为A B C D【答案】A2. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】椭圆 与抛物线相交于点 M，N，过点 的直线与抛物线 E 相切于 M，N 点，设椭圆的右顶点为 A，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的 离心率为A B C D【答案】B2【解析】设过点 的直线方程为 ，联立方程组 ，因为直
2、线与抛物线相切， 所以 ，所以切线方程分别为 或 .此时 ， 或 ， ，即切点 或 .又椭圆的右顶点 ，因为四边形 为平行四边形，所以 ，即得 .又交点 在椭圆上，所以 ， 4. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试】设双曲线 的右焦点是 F，左、右顶点分别是 ,过 F 做 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 ,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析： ， ， ， ，所 以 ，根据 ,所以 ,代入后得 ，整理为 ，所以该双曲线渐近线的斜率是 ，故选 C.5. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试】已知抛物线 C： 经过点 1,2，过焦点
3、 F的直线 l与抛物线 C交于 A， B两点， 7,02Q，若 BF，则 （ ）3A 1 B 32 C D 4【答案】 B ，且 24ba，解得 12， 2b， ,2A，则，故选 B. 8. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】若平面内两定点 ， 间的距离为 ，动点 与 、 距离之比为 ，当 ， 不共线时， 面积的最大值是（ ）A B C D【答案】A49. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试】已知双曲线 的左焦点为抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为 ,则实数 （ ）A3 B C D【答案】C【解析】抛物线 的焦点坐标为 ，则双曲线中 ，由双曲线的标准方程可得其
4、渐近线方程为 ，则：，求解关于实数 a,b 的方程可得： .本题选择 C 选项. 12. 【衡水金卷】2018 届四省名校高三第三次大联考】设抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于 点，过点 的直线 与抛物线 相交于不同两点 ，且 ，连接 并延长准线 于 点，记 与 的面积为 ，则 （ ）A B C D【答案】C513. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期四调】已知双曲线方程为 ， 为双曲线的左右焦点， 为渐近线上一点且在第一象限，且满足 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A B2 C D3【答案】B【解析】设 为坐标原点， ， 为直角三角形又 的中点， ， ， 为正三角形，直线 的倾斜角为
5、 ，离心率 故选 B 16. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆的长轴长与焦距之和为 6，则椭圆 的标准方程为 A B C D【答案】D【解析】依题意椭圆 ： 的离心率为 得 ，椭圆 的长轴长与焦距之和为 6，解得 ， ，则 ，所以椭圆 的标准方程为： ，故选 D617. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知双曲线 的离心率为 2，左，右焦点分别为 ， ，点 在双曲线 上,若 的周长为 ，则 A B C D【答案】B18. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(一)】已知双曲线 与双曲线 ，给出下列说法，其中错误的是（ ）A它们
6、的焦距相等 B它们的焦点在同一个圆上C它们的渐近线方程相同 D它们的离心率相等【答案】D 19. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知双曲线 的左、右焦点分别为12,F，点 P在双曲线的右支上，且 ，双曲线的离心率为 2，则（ ）A B 3 C 2 D 23【答案】B【解析】由 ，可知 12PF，由双曲线的定义可得 ，即，由双曲线的离心率可得双曲线的焦距为 ，7在 12PF中，由勾股定理可得 ，解之得 23，故选 B. 22. 【河北省衡水中学 2018 届高三十五模试题】已知双曲线 的左右焦点分别为 12,，直线 l经过点 2F且与该双曲线的右支交于 ,AB两点，若 1F的周长
7、为 7a，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A 7,2 B 1,72 C 7,2 D 7,2【答案】A23. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】双曲线 （ ， ）的一条渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】因为双曲线 的一条渐近线为 ，所以，因为 ，所以选 A. 二、填空题81. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)】已知抛物线 的焦点是 ，直线 交抛物线于 两点，分别从 两点向直线 作垂线，垂足是 ，则四边形 的周长为_【答案】 .【解析】由题知， ，准线 的方程是 . 设 ，由 ，消去 ， 得. 因为直线 经过焦点 ，所以 . 由抛物
8、线上的点的几何特征知，因为直线 的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形的周长是 ，故答案为 . 三解答题1. 【河 北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】已知定点 F(1，0)，定直线 ，动点 M 到点 F 的距离与到直线 l 的距离相等(1)求动点 M 的轨迹方程；(2)设点 ，过点 F 作一条斜率大于 0 的直线交轨迹 M 于 A，B 两点，分别连接 PA，PB，若直线 PA 与直线 PB 不关于 x 轴对称，求实数 t 的取值范围 【答案】 （1） ；（2）（2）过点 的直线方程可设为 ，联立方程组 .设 ，所以所以9而，2，当 时， ，此时直线 关于 轴对称，当 时，kp
9、 外十点能 0，此时直线 不关于 轴对称。所以实数 t 的取值范围为 . 4. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十六次模拟考试】已知椭圆 C： 的左，右焦点分别为 1F， 2.过 30,Pb且斜率为 k的直线 l与椭圆 相交于点 M， N.当 0k时，四边形12MN恰在以 1为直径，面积为 2516的圆上.（1）求椭圆 C的方程；（2）若 ，求直线 l的方程.10【答案】(1) 2143xy；(2) .四边形 12MNF为矩形，且 152F 点 的坐标为 ,bca 又23ba， 2设 ，则 ck在 12RtMF中， 23， 12Fk， ， 1k ， 椭圆 C的方程为2143xy 11 ，即
10、 ，解得 1k，直线 l的方程为 5. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试】设点 、 的坐标分别为 ,直线 相交于点 ,且它们的斜率之积是 .（1）求点 的轨迹 的方程；（2）直线 与曲线 相交于 两点，若 是否存在实数 ，使得 的面积为 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1） ；（2）不存在.【解析】 （1）设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是 ，所以直线 的斜率同理，直线 的斜率12所以 化简得点 的轨迹方程 为 （2）设 联立 ，化为： ， ，点 到直线 的距离 ，解得： ，解得 ，因为当 时直线 过点 ，当 时直线 过点 ，因此不存在实数 ，使得的
11、面积为 . 所以 .所以 的取值范围是 .7. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期四调】设常数 在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，曲线 ： 与 轴交于点 、与 交于点 、 分别是曲线 与线段 上的动点13（1）用 表示点 到点 距离；（2）设 ， ，线段 的中点在直线 ，求 的面积；（3）设 ，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析.（2） ， ， ，则 ， ， ，设 的中点 ，则直线 方程： ，联立 ，整理得： ，解得： ， （舍去） ， 的面积 ；14（3）存在，设 ， ，则 ， ，
12、直线 方程为 ， ， ，根据 ，则 ， ，解得： ，存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上，且 8. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】已知点 是抛物线 的焦点，若点在抛物线 上，且求抛物线 的方程；动直线 与抛物线 相交于 两点，问：在 轴上是否存在定点 其中 ，使得向量 与向量 共线 其中 为坐标原点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2）存在， .15使得 与向量 共线，由 ， 均为单位向量，且它们的和向量与 共线，可得 x 轴平分 ，设 ， ，联立 和 ，得 ，恒成立，设直线 DA、 DB 的斜率分别为 ， ，则由 得，16，联立
13、，得 ，故存在 满足题意， 所以 ， ， 三点共线.10. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(三)】已知椭圆 C： 21yxab（ 0a）的上、下两个焦点分别为 1F， 2，过 1的直线交椭圆于 M， N两点，且 2FA的周长为 8，椭圆 C的离心率为 32.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）已知 O为坐标原点，直线 l： ykxm与椭圆 C有且仅有一个公共点，点 M， N是直线 l上的两点，且 1FMl， 2N，求四边形 12FN面积 S的最大值.【答案】 （1） 24yx.（2）4.（1）因为 2MNFA的周长为 8，所以 4a，所以 2.又因为 32ca，所以 3c，所以，所以椭圆
14、 C的标准方程为214yx.（2）将直线 l的方程 km代入到椭圆方程214yx中，得 240m.17由直线与椭圆仅有一个公共点，知 ，化简得 224mk.设 ， ，所以 271k，231mk，所以 21k.因为四边形 12FMN的面积 ，所以.令 21kt（ ） ，则，所以当 13t时， 2S取得最大值为 16，故 max4S，即四边形 12FMN面积的最大值为 4.11. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】已知椭圆 ： 的离心率为 ，且过点，动直线 ： 交椭圆 于不同的两点 ， ，且 （ 为坐标原点）.（1）求椭圆 的方程.18（2）讨论 是否为定值？若为定值，求出该定值，若不
15、是请说明理由.【答案】(1) ;(2)2.（2）设 ，由 ，可知 .联立方程组消去 化简整理得 ，由 ，得 ，所以 ， ，又由题知 ，即 ，整理为 .将代入上式，得 .化简整理得 ，从而得到 . 1912. 【河北省衡水中学 2018 届高三十五模试题】已知中心在坐标原点 O，一个焦点为 3,0F的椭圆被直线 1yx截得的弦的中点的横坐标为 45.（1）求此椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆交于 ,PQ两点，且以 为对角线的菱形的一个顶点为,0M，求 OPQ面积的最大值及此时直线 l的方程.【答案】 （1）214xy（2）最大值 1， 【解析】（1）设所求椭圆方程为 ，由题意知 ，设直线与椭圆的
16、两个交点为 ，弦 AB的中点为 E，由 ，两式相减得： ，两边同除以 21x，得 ，即 . 因为椭圆被 直线 y截得的弦的中点 E的横坐标为 ，所以 E，所以 ， 1ABk，所以 ，即 24ab，由可得 ，所以所求椭圆的方程为 . 20PQ为对角线的菱形的一顶点为 1,0M，由题意可知 MNPQ,即整理可得： 由可得 ， ， 设 O到直线 l的距离为 d，则， 当 的面积取最大值 1，此时 k直线方程为 .13. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试】如图，已知直线 关于直线1yx对称的直线为 1l，直线 1,l与椭圆 分别交于点 A、 M和 、 N，记直线 1l的斜率为 k.（）
17、求 1的 值；（）当 k变化时，试问直线 MN是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.21【答案】 （）1;（） 50,3.由 01yx得 .，由得 0xy. （）设点 ，由124ykx得 ， ， . 22同理： ， ，即： 当 k变化时，直线 MN过定点 50,3.14. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)】已知椭圆 的长轴长为 ，且椭圆 与圆 的公共弦长为（1）求椭圆 的方程. （2）经过原点作直线 （不与坐标轴重合）交椭圆于 两点， 轴于点 ，点 在椭圆 上，且，求证： 三点共线. 【答案】(1) .(2)见解析.23所以 ，解得 .所以椭圆 的方程为 .
