1、1第 2 课时 矩形的判定1掌握矩形的判定方法；(重点)2能够运用矩形的性质和判定解决实际问题(难点)一、情境导入我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：1两条对角线相等且互相平分；2四个内角都是直角这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？二、合作探究探究点一：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图，在 ABC 中， AB AC， AD是 BC 边上的高， AE 是 BAC 的外角平分线，DE AB 交 AE 于点 E.求证：四边形
2、 ADCE 是矩形解析：首先利用外角性质得出 B ACB FAE EAC，进而得到AE BC，即可得出四边形 AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质得出四边形ADCE 是平行四边形，再根据 AD 是高即可得出四边形 ADCE 是矩形证明： AB AC， B ACB. AE是 BAC 的外角平分线， FAE EAC. B ACB FAE EAC， B ACB FAE EAC，AE BC.又 DE AB，四边形 AEDB 是平行四边形， AE 平行且等于 BD.又 AB AC， AD BC， BD DC， AE 平行且等于 DC，故四边形 ADCE 是平行四边形又 ADC90，平行四边形
3、ADCE是矩形方法总结：平行四边形的判定与性质以及矩形的判定常综合运用，解题时利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形再证明其中一角为直角即可探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，延长 OA 到N， ON OB，再延长 OC 至 M，使 CM AN.求证：四边形 NDMB 为矩形解析：首先由平行四边形 ABCD 可得OA OC， OB OD.若 ON OB，那么 ON OD.而 CM AN，即 ON OM.由此可证得四边形NDMB 的对角线相等且互相平分，即可得证证明：四边形 ABCD 为平行四边形， AO OC， OD
4、OB. AN CM， ON OB，ON OM OD OB， MN BD，四边形NDMB 为矩形方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形2如图， ABCD 各内角的平分线分别相交于点 E， F， G， H.求证：四边形EFGH 是矩形解析：利用“有三个内角是直角的四边形是矩形”证明四边形 EFGH 是矩形证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， DAB ABC180. AH， BH 分别平分 DAB 与 ABC， HAB DAB， HBA ABC12 12， HAB HBA ( DAB AB
5、C)12 18090， H90.同理12 HEF F90，四边形 EFGH 是矩形方法总结：题设中隐含多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形探究点四：矩形的性质和判定的综合运用【类型一】 矩形的性质和判定的运用如图， O 是矩形 ABCD 的对角线的交点， E、 F、 G、 H 分别是 OA、 OB、 OC、 OD上的点，且 AE BF CG DH.(1)求证：四边形 EFGH 是矩形；(2)若 E、 F、 G、 H 分别是OA、 OB、 OC、 OD 的中点，且DG AC， OF2cm，求矩形 ABCD 的面积解析：(1)证明四边形 EFGH 对角线相等且互相平分；
6、(2)根据题设求出矩形的边长 CD 和 BC，然后根据矩形面积公式求得(1)证明：四边形 ABCD 是矩形， OA OB OC OD. AE BF CG DH，AO AE OB BF CO CG DO DH，即OE OF OG OH，四边形 EFGH 是矩形；(2)解： G 是 OC 的中点， GO GC. DG AC， DGO DGC90.又 DG DG， DGCDGO， CD OD. F 是 BO 中点，OF2cm， BO4cm.四边形 ABCD 是矩形， DO BO4cm， DC4cm， DB8cm，CB 4 cm， S 矩形 ABCD44DB2 DC2 3 16 (cm2)3 3方法总
7、结：若题设条件与这个四边形的对角线有关，要证明一个四边形是矩形，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分【类型二】 矩形的性质和判定与动点问题如图所示，在梯形 ABCD 中，AD BC， B90，AD24cm， BC26cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以3cm/s 的速度运动点 P、 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动(1)经过多长时间，四边形 PQCD 是平行四边形？(2)经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？解析：(1)设经过 ts 时，四边形 P
8、QCD是平行四边形，根据 DP CQ，代入后求出即可；(2)设经过 ts 时，四边形 PQBA 是矩形，根据 AP BQ，代入后求出即可解：(1)设经过 ts，四边形 PQCD 为平行四边形，即 PD CQ，所以 24 t3 t，解得 t6；(2)设经过 ts，四边形 PQBA 为矩形，即 APBQ，所以 t263 t，解得 t.132方法总结：证明一个四边形是平行3四边形，若题设条件与这个四边形的边有关，通常证这个四边形的一组对边平行且相等；题设中出现一个直角时，常采用“有一角是直角的平行四边形是矩形”来判定矩形三、板书设计1矩形的判定有一角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形2矩形的性质和判定的综合运用在本节课的教学中，不仅要让学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在学习的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法教师在例题练习的教学中，若能适当地引导学生多做一些变式练习，类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的效率
