1、128.2.2 应用举例第 2 课时 利用仰俯角解直角三角形1使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】 利用仰角求高度星期天，身高均为 1.6 米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度如图，小红站在 A 处测
2、得她看塔顶 C 的仰角 为 45，小涛站在 B 处测得塔顶 C 的仰角 为 30，他们又测出 A、 B 两点的距离为 41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是 10cm，求塔高(结果保留根号)解析：设塔高为 xm，利用锐角三角函数关系得出 PM 的长，再利用 tan30，求出CPPNx 的值即可解：设塔底面中心为 O，塔高 xm， MN AB 与塔中轴线相交于点 P，得到 CPM、 CPN是直角三角形，则 tan45，tan451， PM CP x1.5.在x （ 1.6 0.1）PMRt CPN 中， tan30，即 ，解得 x .CPPN x 1.5x 1.5 41.5 33 833 8942
3、答：塔高为 m.833 894方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练” 第 7 题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆 EG，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶部 E 点恰好看到矮建筑物的墙角 C 点，且俯角 为 60，又从 A 点测得 D 点的俯角 为 30.若旗杆底部 G 点为 BC 的中点，求矮建筑物的高 CD.解析：根据点 G 是 BC 的中点，可判断 EG 是 ABC 的中位线，求出 AB.在 Rt ABC 和Rt AFD 中，
4、利用特殊角的三角函数值分别求出 BC、 DF，继而可求出 CD 的长度解：过点 D 作 DF AF 于点 F，点 G 是 BC 的中点， EG AB， EG 是 ABC 的中位线， AB2 EG30m.在 Rt ABC 中， CAB30， BC ABtan BAC30 10 m.在33 3Rt AFD 中， AF BC10 m， FD AFtan 10 10m， CD AB FD301020m.3 333答：矮建筑物的高为 20m.方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型
5、三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度 AB，测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为 45，测得河对岸 A 处的俯角为 30(A、 B、 C 在同一条直线上)，则河的宽度 AB 约是多少 m(精确到 0.1m，参考数据： 1.41， 1.73)?2 3解析：在 Rt ACD 中，根据已知条件求出 AC 的值，再在 Rt BCD 中，根据 EDB45，求出 BC CD21m，最后根据 AB AC BC，代值计算即可3解：在 Rt ACD 中， CD21m， DAC30， AC 21 m.在CDtan302133 3Rt BCD 中，
6、EDB45， DBC45， BC CD21m， AB AC BC21 2115.3(m)则河的宽度 AB 约是 15.3m.3方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升” 第 3 题【类型四】 仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物 AB 的高，他们来到与建筑物 AB 在同一平地且相距 12m 的建筑物 CD 上的 C 处观察，测得此建筑物顶部 A 的仰角为 30、底部 B 的俯角为 45.求建筑物 AB 的高(精确到 1m，可供选用的数
7、据：1.4 ， 1.7)2 3解析：过点 C 作 AB 的垂线 CE，垂足为 E，根据题意可得出四边形 CDBE 是正方形，再由 BD12m 可知 BE CE12m，由 AE CEtan30得出 AE 的长，进而可得出结论解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 E， CD BD， AB BD， ECB45，四边形CDBE 是正方形 BD12m， BE CE12m， AE CEtan3012 4 (m)，33 3 AB4 1219(m)3答：建筑物 AB 的高为 19m.方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 7 题三、板书设计1仰角和俯角的概念；2利用仰角和俯角求高度；3利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4仰角和俯角的综合备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步只有这4样，才能真正提高课堂教学效率.
