1、1专题 1.3 等时圆【题型概览】在等时圆中，物体沿不同倾角的光滑轨道从静止下滑，满足特定条件时运动时间与倾角无关，进而利用此结论可快捷比较运动时间的长短、求解运动时间的极值等【题型通解】1.如图甲，物体从竖直圆环的顶点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用的时间都等于它沿圆的直径做自由落体的时间即 gRt4。3.不同光滑轨道从同一点出发（或会聚到同一点）时，以轨道的公共点为竖直圆的最高点（或最低点）作圆，可快捷比较物块运动时间例 1.如图所示，由竖直墙壁和斜坡构成一凹形槽，竖直墙壁和斜坡相交于 O，从墙最高处 A 到斜坡有两条光滑的轨道 AB、AC，已知 OA=OB，C 点在 B 点的下
2、方。两小孩同时从 A 处开始自由滑下，问两小孩谁最先滑到斜坡？ 例 1 图BACDO【答案】沿 AC 弦下滑的小孩【解析】该题似乎少了条件，给思维造成了很大障碍。如果用上面结论（1） 该题可即刻求解。因 OA=OB，故可以 O 点为圆心 OA 为半 径作圆，AB 为圆 的一条弦，由结论（1）可知，沿 AB 滑下的小孩比沿 AC 滑下的所用时间长，即沿 AC 滑下的小孩先达到斜坡。2例 2.如图所示， oa、 ob、 oc 是竖 直面内三根固定的光滑细杆， O、 a、 b、 c、 d 位于同一圆周上， d 点为圆周的最高点， c 点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环都从
3、o 点无初速释放，用 t1、 t2、 t3依次表示滑环到达 a、 b、 c 所用的时间，则A t1 = t2 = t3 ab cd o例 2 图B t1 t2 t3 C t1 t1 t2【答案】B【解析】 如图所示，以 O 点为圆周最高点、以 Ob 为弦作一圆周，可以看出，轨道 Oa 长度大于等时圆的弦长、Oc 长度小于等时圆的弦长，故选项 B 正确。【题型对练】1.图甲是某景点的山坡滑道网片，为了探究滑行者在滑道直线部分 AE 滑行的时间，技术人员通过测量绘制出如图乙所示的示意图。AC 是滑道的竖直高度，D 点是 AC 竖直线上的一点，且有 AD=DE=10m，滑道 AE可视为 光滑，滑行者
4、从坡顶 A 点由静止开始沿滑道 AE 向下做直线滑动，g 取 l0m/s2，则滑行者在滑道 AE上滑行的时间为1 图A s2B2s C s3D s23【答案】B 2.如图所示，在竖直平面内有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于 O 点，O 点恰好是下半圆的圆心，现在有三条光滑轨道 AB、CD、EF，它们的上下端分别位于上下两圆的圆周上，三轨道都经过切点 O，轨道与竖直线的夹角关系 为 ，现在让一物块 先后从三轨道顶 端由静止下滑至底端，则物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为At ABt CDt EF Bt ABt CDt EF Ct ABt CDt EF D无法确定【答案】A【解
5、析】由等时圆模型可知，沿各轨道运动到 O 点时时间相等，再从 O 到各轨道末端位移大小相等，沿 AB轨道下滑的物块到 O 点、B 点时速度都最小，即物块从 O 到 B 的平均速度最小、经历时间最长，故物块从沿 A 轨道下滑时时间最长，同理可知沿 EF 轨道下滑时时间最短，选项 A 正确。 6.几个不同倾角的光滑斜面，有同一底边，顶点在同一竖直面上，一个物体从斜面顶端由静止开始滑至底端，物体运动时间最 短的斜面倾角为（）A30 0 B.450 C.600 D.750【答案】B【解析】解法一：如图所示,过斜面底端做一竖直线,在竖直线上取一点，使其到斜面底端的距离等于斜面底边边长.以此点为圆心作出与
6、斜面底边相切的圆，则此圆也必经过倾角为 450的斜面的顶端，由图可以看出选项正确4解法二：设斜面底边 长 度为 b，由 有，可见当 ，B 正确。7.如图所示，固定斜面的倾角为 ，在 A 点正上方高度为 h 的 P 处，一小球沿不的轨道由静止开始下滑（APC， D)。设小球沿 PA、PC、PD 下滑的时间依次为 t1、t 2、t 3，则7 图A. t1t2t3 B.t2t1t3 C.t3t1t2 D。无法判定【答案】C【解析】 以 AP 的中点为圆心、以 2h为半径画圆。交 AB 于一点，连接该点与 A7 答图点，如图所示。由等时圆结论可知选项 C 正确。8.半径为 R 的竖直圆环的环面所在平面内，环外有一点 A，为了使物体从静止 开始由点 A 沿光滑斜轨道运动到圆环上且运动时间最短，试确定斜轨道的位置。【答案】见解析5
