1、1小专题(三) 勾股定理与其逆定理的综合应用勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,利用这个关系,在已知两边或者三边之间的关系的基础上可求出未知的边的长 .勾股定理的逆定理是判断一个三角形为直角三角形的重要依据之一,所以这两个知识点是中考必考内容,可能单独考查其中一个知识点,也可能把两个知识点综合起来考查 .类型 1 勾股定理在折叠问题中的应用1.如图,在 Rt ABC中,点 E在 AB边上,把 Rt CBE沿 CE折叠后,使点 B恰好落在斜边 AC的中点 O处,若 BC=3,则折痕 CE的长为(B)A. B.23 3C.3 D.632.如图,在矩形 ABCD中, AB=4,AD=6,E是 A
2、B边的中点, F是 BC边上的动点,将 EBF沿 EF所在直线折叠得到 EBF,连接 BD,则 BD的最小值是 (A)A.2 -2 B.610C.2 -2 D.4133.如图,在矩形 ABCD中,沿折痕 MN将 D点折叠至 B处,已知 AB=6,BC=8,则 MN的长度为 (B)A. B.154 152C. D.158 534.如图,将矩形纸片 ABCD折叠,使两个顶点 A,C重合,折痕为 FG.若 AB=4,BC=8,则 ABF的面积为 6 . 2类型 2 勾股定理与分类讨论问题5.在 ABC中, AB=10,AC=2 ,BC边上的高 AD=6,则另一边 BC等于 (C)10A.10 B.8
3、C.6或 10 D.8或 106.在等腰直角三角形 ABC中, ACB=90,AC=3,P为 BC边的三等分点,连接 AP,则 AP的长为 .10或 137.如图,在 ABC中, AB=BC=4,AO=BO,P是射线 CO上的一个动点, AOC=60,则当 PAB为直角三角形时, AP的长为 2或 2 或 2 . 3 7类型 3 勾股定理与规律探索题8.如图,正方形 ABCD的边长为 2,其面积标记为 S1,以 CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边向外作正方形,其面积标记为 S2,按照此规律继续下去,则S2019的值为 (B)A. B.(12)2015 (12)2016C
4、. D.(22)2015 (22)2016提示:由题意可得, S1=4,S2=2=4 ,S3=1=4 ,S4= =4 ,Sn=4 ,所12 (12)2 12 (12)3 (12)n-1=(12)n-3以 S2019= .(12)2019-3=(12)20169.如图,在正方形 ABCB1中, AB=1,AB与直线 l的夹角为 30,延长 CB1交直线 l于点 A1,作正方形 A1B1C1B2,延长 C1B2交直线 l于点 A2,作正方形 A2B2C2B3,延长 C2B3交直线 l于点 A3,作正方形 A3B3C3B4,以此类推,则 A2018A2019= 231009 . 3类型 4 勾股定理
5、的实际应用10.如图,斜面 AC的坡度( CD与 AD的比)为 1 2,AC=3 米,坡顶有旗杆 BC,旗杆顶端 B点5与 A点有一条彩带相连,若 AB=10米,则旗杆 BC的高度为 (A)A.5米 B.6米C.8米 D.(3+ )米511.如图,长方体的底面边长分别为 1 cm和 3 cm,高为 6 cm,如果用一根细线从点 A开始经过四个侧面缠绕 n圈到达点 B,那么所用细线最短需要 10 cm. 12.如图,修公路遇到一座山,于是要修一条隧道 .为了加快施工进度,想在小山的另一侧同时施工 .为了使山的另一侧的开挖点 C在 AB的延长线上,设想过 C点作直线 AB的垂线 l,过点B作一条直
6、线(在山的旁边经过),与 l相交于 D点,经测量 ABD=135,BD=800米,求应在直线 l上距离 D点多远的 C处开挖?( 1 .414,精确到 1米)2解: CD AC, ACD=90. ABD=135, DBC=45, D=45,CB=CD.在 Rt DCB中, CD2+BC2=BD2,即 2CD2=8002,CD= 400 566(米) .24答:应在直线 l上距离 D点约 566米的 C处开挖 .类型 5 勾股定理及其逆定理的综合应用13.在 ABC中, AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形的面积为 (A)A.24 B.48C.40 D.条件不足,不能确定14.如图,已知
7、ABC中, AB的垂直平分线交 BC于点 D,AC的垂直平分线交 BC于点 E,点 M,N为垂足,若 BD= ,DE=2,EC= ,则 AC的长为 (D)32 52A. B.322 332C. D.352 310215.如图所示,有一块地,已知 AD=4米, CD=3米, ADC=90,AB=13米, BC=12米,则这块地的面积是 24 平方米 . 16.一副直角三角板如图放置,点 C在 FD的延长线上, AB CF, F= ACB=90, E=45, A=60,AC=10,试求 CD的长 .解:过点 B作 BM FD于点 M.在 ACB中, ACB=90, A=60,AC=10, ABC=30,AB= 2AC=20,BC= =10 .AB2-AC2= 202-102 3AB CF, MCB= ABC=30,BM= BC=5 ,12 3CM= =15.BC2-BM2= (103)2-(5 3)2在 EFD中, F=90, E=45, EDF=45.又 BMD=90, MBD=45,MD=BM= 5 ,35CD=CM-MD= 15-5 .3
