1、1八 不等式选讲(B)1.(2018呼伦贝尔一模)已知 a0,b0,且 a+b=1.(1)若 abm 恒成立,求 m的取值范围;(2)若 + |2x-1|-|x+2|恒成立,求 x的取值范围.2.(2018永州模拟)已知x 0R 使得关于 x的不等式|x-1|-|x-2|t 成立.(1)求满足条件的实数 t的集合 T;(2)若 m1,n1,且对于tT, 不等式 log3mlog3nt 恒成立 ,试求 m+n的最 小值.3.(2018葫芦岛二模)已知函数 f(x)=|x+1|+|2x-1|.(1)若 f(x) + (m0,n0)对任意 xR 恒成立,求 m+n的最小值;(2)若 f(x)ax-2
2、+a 恒成立,求实数 a的取值范围.4.(2018南平质检)已知函数 f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)解不等式 f(x)x+1;(2)设函数 f(x)的最小值为 c,已知实数 a,b满足 a0,b0,a+b=c,求证: + 2+11.21.解:(1)因为 a0,b0,且 a+b=1,所以 ab( )2= ,当且仅当 a=b= 时“=”成立,+2 12由 abm 恒成立,故 m .(2)因为 a,b(0,+),a+b=1,所以 + =( + )(a+b)=5+ + 5+2 =9, 4当且仅当 a=2b时取等号,故若 + |2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|9,当 x
3、-2 时,不等式化为 1-2x+x+29,解得-6x-2,当-21,n1,所以 log3m0,log3n0.又 1log 3mlog3n( )2= (log3m=log3n时,取等号,此时 m=n),3+32 (3)24所以(log 3mn)24,所以 log3mn2,mn9,所以 m+n2 6,即 m+n的最小值为 6(此时 m=n=3).3.解:(1)由题意可知,f(x)=3,1,+2,10,n0,解得 m+n ,83当且仅当 m=n时等号成立,故 m+n的最小值为 .83(2)令 g(x)=ax-2+a=a(x+1)-2,其为过定点(-1,-2)的斜率为 a的直线,则 f(x)g(x)表示函数 y=f(x)恒在函数 y=g(x)图象的上方,由图象可知-3a .734.(1)解:f(x)x+1,即|x-1|+|x-3|x+1.当 x3时,不等式可化为 2x-4x+1,x5.又因为 x3,所以 31,n1,a=m-1,b=n-1,m+n=4,4+ = + =m+n+ + -4= =1,2+1 2+1(1)2 (1)2 4原不等式得证.
