1、三 立 体 几 何,【必用必记公式】 柱、锥、台、球的表面积与体积 (1)柱体:表面积:S=S侧+2S底; 体积:V=S底h.,(2)锥体:表面积:S=S侧+S底; 侧面积:S侧=rl; 体积:V= S底h. (3)台体:表面积:S=S侧+S上底+S下底; 侧面积:S侧=(r+r)l;,体积:V= (S+ +S)h. (4)球体:表面积:S=4R2; 体积:V= R3.,【重要性质结论】 1.直线与平面平行的判定及性质 (1)线面平行的判定定理: a,b,aba. (2)线面平行的性质定理: a,a,=bab.,2.平面与平面平行的判定及性质 (1)面面平行的判定定理: a,b,ab=P,a,
2、b. (2)面面平行的性质定理: ,=a,=bab.,3.直线与平面垂直的判定及性质 (1)线面垂直的判定定理: m,n,mn=P,lm,lnl. (2)线面垂直的性质定理: a,bab.,4.平面与平面垂直的判定及性质 (1)面面垂直的判定定理: a,a. (2)面面垂直的性质定理: ,=l,a,ala.,【易错易混提醒】 1.混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关系,应表示为Aa,a.,2.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.,3.易
3、混淆几何体的表面积与侧面积的区别,几何体的表 面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和,不能漏掉 几何体的底面积;求锥体体积时,易漏掉体积公式中的 系数 .,4.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理,忽视判定定理和性质定理中的条件,导致判断出错.如由,=l,ml,易误得出m的结论,就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件.,5.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形,弄清楚变与不变的元素后,再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.,【易错诊断】 1.某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为1,则 该几何体的体积
4、为 ( ) A.208+ B.216+ C.208+ D.216+,【解析】选A.该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个 棱长为2的小正方体,再放置进去一个半径为1的球,所 以体积为63-23+ 13=208+ .,2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4, 底面边长为2,则该球的表面积为 ( ) A. B.16 C.9 D.,【解析】选A.设球的半径为R,棱锥的高为4,底面边 长为2, 所以R2=(4-R)2+( )2, 所以R= , 所以球的表面积为4,3.正四面体A-BCD的所有棱长均为12,球O是其外接 球,M,N分别是ABC与ACD的重心,则球O截直线MN 所得的弦长为 (
5、),【解析】选C.正四面体A-BCD可补全为棱长为6 的 正方体,所以球O是正方体的外接球,其半径R= =3 ,设正四面体的高为h,则 故OM=ON= ,又MN= BD=4,所以O到直线MN的距离为因此球O截直线MN所得的弦长为,4.如图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:,AFGC; BD与GC成异面直线且夹角为60; BDMN; BG与平面ABCD所成的角为45. 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选B.将正方体纸盒展开图还原成正方体,如 图知AF与GC异面垂直,故正确;显然BD与GC成异面 直线,连接MB,MD.则BMGC,在等边BDM
6、中,BD与BM所 成的60角就是异面直线BD与GC所成的角,故正确; 显然BD与MN异面垂直,故错误;显然GD平面,ABCD,所以在RtBDG中,GBD是BG与平面ABCD所成的角,RtBDG不是等腰直角三角形.所以BG与平面ABCD所成的角不是为45,故错误.,5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边 形,AB=2AD=2,PD=BD= AD,且PD底面ABCD.若Q为PC的中点,则三棱锥A-PBQ的体积为_.,【解析】三棱锥A-PBQ的体积VA-PBQ与三棱锥A-QBC的 体积相等, 而VA-QBC=VQ-ABC= VP-ABC= VP-ABCD= 所以三棱锥A-PBQ的体积VA-PBQ= . 答案:,
