1、二 数 列,必用必记公式 1.an与Sn的关系:an= 2.数列an是等差数列an-an-1=d(n2) an=a1+(n-1)dan+1+an-1=2an(n2) Sn= =na1+ d,3.数列an是等比数列 =q(n2) an=a1qn-1an+1an-1= (n2) Sn=,重要性质结论 1.等差数列的性质 (1)若m+n=p+q(m,n,p,qN+), 则am+an=ap+aq. (2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列. (3)an=am+(n-m)d(m,nN+).,2.等比数列的性质 (1)若k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=aman. (2)
2、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. (3)an=amqn-m.,3.常见的裂项公式 (1) (2) (3),【易错易混提醒】 1.已知数列的前n项和求an,容易忽视n=1的情形,而直接用an=Sn-Sn-1,造成错误的原因是忽略了定义域n2,正确的是:an=,2.求两个正数的等比中项时,容易与两个正数的几何平 均数混淆,正确的是:正数a,b的等比中项为 ,几 何平均数是 . 3.容易忽视等比数列中公比q0的隐藏条件.,4.容易忽视等比数列求和公式中对q的分类讨论:当q=1 时,Sn=na1,当q1时,Sn= . 5.判断几个数是否成等比数列时,忽略有零的情 形,a,
3、b,c成等比数列的必要不充分条件为ac=b2. 6.容易忽视an,Sn中的n的取值范围是正整数集合.,7.应用等差数列、等比数列的求和公式时,没有分清楚数列的项数,或者记错了公式. 8.利用错位相减法求和时,漏掉第一项和最后一项,中间的项数误以为是n项,应该是n-1项.,9.利用裂项相消法求和时,分裂后的结果与分裂前的值不相等.应该把分裂后的式子运算后与原来分裂前对照验证. 10.利用分组求和时,不能分成等差数列、等比数列的求和问题,比如遇到(-1)n时,要分成奇数、偶数分别讨论求和.,11.遇到含有Sn,an的关系式子中,要把n换成n-1时,只更换了一个或部分的n,应该更换所有的n.,【易错
4、诊断】 1.已知数列an中,a1+2a2+3a3+nan=(n+1)(n+2),则数列的通项公式为_.,【解析】当n=1时,a1=6, 当n2时,a1+2a2+3a3+nan=(n+1)(n+2), a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=n(n+1), 两个式子相减得nan=(n+1)(n+2-n)=2(n+1) 所以an=2+ ,所以数列的通项公式为an= 答案:an=,2.设数列an的通项公式为an=n2+tn,若an是递增数列,则实数t的取值范围是_.,【解析】由 得t-3,所以t的取值范围是 t-3. 答案:t-3,3.已知等比数列an中相邻的三项为a,2a+2,3a+3,则实数a
5、的值为_.,【解析】因为a,2a+2,3a+3成等比数列,所以(2a+2)2=a(3a+3),所以a=-1,或a=-4,但是当a=-1时,2a+2=3a+3=0,矛盾,当a=-4时,这三项为-4,-6,-9,合乎题意, 所以实数a的值为-4. 答案:-4,4.已知等比数列an中,a2=20,a6=19,则a4的值为_.,【解析】因为(a4)2=a2a6=380,所以a4= , 又因为a4=a2q20,所以a4=2 . 答案:2,5.已知数列an中,an=n+2n则前10项和S10=_.,【解析】因为Sn=(1+2)+(2+22)+(n+2n)= (1+2+n)+(2+22+2n)= +2n+1
6、-2,所以S10=2101. 答案:2101,6.已知数列an中,2a1+22a2+23a3+2nan=n,则数列的前n项和为_.,【解析】当n=1时,2a1=1,a1= , 当n2时,2a1+22a2+23a3+2nan=n, 2a1+22a2+23a3+2n-1an-1=n-1, 两个式子相减得2nan=1,所以an= ,所以数列an是等比数列,所以数列的前n项和为 Sn= =1- .答案:1-,7.已知等差数列an中a9=19,a8=17,数列an的前n项和为Sn,则 + 的值为_.,【解析】因为等差数列an中a9=19,a8=17,所以d=19- 17=2,所以an=a9+(n-9)2=2n+1,所以Sn= =n(n+2), 所以 , 所以 +,答案:,8.求和1+x+x2+xn.,【解析】当x=0时,1+x+x2+xn=1, 当x=1时,1+x+x2+xn=n, 当x0,x1时,1+x+x2+xn= , 所以1+x+x2+xn=,
