1、1第 2 讲 导数的简单应用与定积分(B)(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号导数的几何意义 3,4,7导数与函数的单调性 1,5,6,8,10导数与函数的极值、最值 9,11,12定积分和微积分基本定理 2一、选择题1.(2018河北武邑中学高三期中)已知偶函数 f(x)(x0)的导函数为 f(x),且满足 f(1)=0,当 x0 时,xf(x)0 成立的 x 的取值范围是( C )(A)(-,-1)(0,1)(B)(-,-1)(1,+)(C)(-1,0)(0,1)(D)(-1,0)(1,+)解析:根据题意,设 g(x)= ,当 x0 时,g(x)= 0 时,不等式 f(x)
2、mx 不恒成立,设过原点的直线与函数 f(x)=x2-3x+2(x0,g(x)是增函数,g(x)g(1)=10,(*)无解,当 k2 时,g(x)在(1,e k-2)上单调递减,在(e k-2,+)上单调递增,又 g(1)=10,且 g(ek)=ek+k0,所以即 ek-2-k=0(k2),设 h(k)=ek-2-k,则 h(k)=e k-2-10,所以 h(k)单调递增,又 h(3)=e-30,72 3272所以 3-1,若存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)0,则实数 a 的取值范围是 . 解析:函数 f(x)=-ex(2x+1)-ax+a 存在唯一的整数 x0,使得 f(x0)0,设
3、g(x)=ex(2x+1)与 y=-ax+a=-a(x-1),即存在唯一的整数 x0,使得 g(x0)在直线 y=-a(x-1)下方,g(x)=e x(2x+3),5当 x(-,- )时 g(x)0,32所以 g(x)在 x(-,- )上单调递减,32在 x(- ,+)上单调递增,32所以当 x=- 时,g(x)取到最小值-2 ,且 g(0)=1;直线 y=-a(x-1)恒过点(1,0),斜率为-a0),f(x)=ln x+1+2ax,令 g(x)=ln x+1+2ax,函数 f(x)=ax2+xln x 有两个极值点g(x)=0 在区间(0,+)上有两个实数根.g(x)= +2a= ,1+2
4、当 a0 时,g(x)0,则函数 g(x)在区间(0,+)单调递增,因此 g(x)=0 在区间(0,+)上不可能有两个实数根,应舍去.当 a0,解得 0- ,此时函数 g(x)单调递减.12所以当 x=- 时,函数 g(x)取得极大值,要使 g(x)=0 在区间(0,+)上有两个实数根,12则 g(- )=ln(- )0,解得- 0,所以 f(x)0,f(x)在(0,+)上单调递增,因为 f( )= (-1+2)= ,1 1 1所以 f(1- ) =f( ),12 1 1可得 解得 0,1121, 12 2(1)即实数 a 的取值范围是( , .12答案:( , 12三、解答题11.(2018
5、安徽江南十校二模)设 f(x)=xln x- ax2+(3a-1)x.32(1)g(x)=f(x)在1,2上单调,求 a 的取值范围;(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极小值,求 a 的取值范围.解:(1)由 f(x)=ln x-3ax+3a,即 g(x)=ln x-3ax+3a,x(0,+),7g(x)= -3a,g(x)在1,2上单调递增,所以 -3a0 对 x1,2恒成立,即 a 对 x1,2恒成立,得 a ;13 16g(x)在1,2上单调递减,所以 -3a0 对 x1,2恒成立,即 a 对 x1,2恒成立,得 a ,13 13由可得 a 的取值范围为(-, ,+).16 13(2
6、)f(1)=0.由(1)知,a0,f(x)在(0,+)上单调递增,所以 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(x)在 x=1 处取得极小值,符合题意;01,又 f(x)在(0, )上单调递增,13 13 13所以 x(0,1)时,f(x)0,13所以 f(x)在(0,1)上单调递减,(1, )上单调递增,13f(x)在 x=1 处取得极小值,符合题意;a= 时, =1,f(x) 在(0,1)上单调递增,13 13在(1,+)上单调递减,所以 x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,不合题意;a 时,00,f(x)单调递增,当 x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增
7、;当 00,f(x)单调递增;x(ln 2a,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当 a= 时,12x(-,+)时,f(x)0,f(x)单调递增;当 a 时,12x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;x(0,ln 2a)时,f(x)0,f(x)单调递增;综上,当 a0 时,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增;当 0 时,f(x)在(-,0)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减 ,在(ln 2a,+)上单调递增.12(2)g(x)=-ex+x2+x,g(x)=-e x+2x+1,g(x)=-e x+2,当 x(0,ln 2)时,g(x)0,g(x)单调递增;x(ln 2,+)时,g(x)0,g( )=4- = - 0,g(x)单调递增;x(x 0,+)时,g(x)0,g(x)单调递减;所以 m=g(x0)=- + +x0=-(2x0+1)+ +x0,020 20= -x0-1=(x0- )2- ,20 12 54又 x0(1, ),329所以,m(-1,- ).14所以,不超过 m 的最大整数为-1.
