1、1第 2 讲 解三角形(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形 1,3,4,6,8,9,10三角函数与解三角形的综合 2,5,7,11一、选择题1.(2018辽宁葫芦岛二模)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则 B 等于( A )(A) (B) (C) (D)23解析:因为 asin Bcos C+csin Bcos A= b,12所以根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B,即 sin B(sin
2、 Acos C+sin Ccos A)= sin B,12因为 sin B0,所以 sin(A+C)= ,即 sin B= ,因为 ab,所以 AB,即 B 为锐角,所以 B= .故选 A.2.(2018吉林百校联盟九月联考)已知 tan B=2tan A,且 cos Asin B= ,则 cos（A-B-） 等于 ( D )32(A)- (B) (C)- (D)25 25解析:由 tan B=2tan A,可得 cos Asin B=2sin Acos B,又 cos Asin B= ,所以 sin Acos 45B= ,25则 cos（A-B- ）=-sin (A-B)=-sin Acos
3、 B+cos Asin B= .故选 D.32 253.(2018天津河西区三模)在ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin2B-sin2C-sin2A= sin Asin C,则 B 的大小为( D )3(A)30 (B)60 (C)120 (D)1502解析:因为 sin2B-sin2C-sin2A= sin Asin C,所以 b2-c2-a2= ac,3即 a2+c2-b2=- ac,3则 cos B= =- ,2+222又 00,上式化为 +t= + (2t+1)- 21+2 21+2 122 - = .1232当且仅当 2t+1=2,即 t= ,可得
4、 c=2b,12又 bc=8,解得 c=4,b=2 时,等号成立;所以 + 的最小值为 .2+2 32故选 C.二、填空题7.(2018漳州二模)在ABC 中,a=2,C= ,tan = ,则ABC 的面积等于 . 12解析:tan B= = = ,43因为 sin2B+cos2B=1,所以 sin B= ,cos B= ,45 35所以 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C= + 45 354= ,由 = ,可得 b= = ,2457210827所以 SABC = absin C= 2 = .12 12 827 87答案:878.(2018青海西宁二模)在
5、ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 bsin B-asin A= asin C,且ABC 的面积为 a2sin B,则 cos B=12. 解析:因为ABC 的面积为 a2sin B,所以 acsin B=a2sin B,即 c=2a,12由 bsin B-asin A= asin C,12得 b2-a2= ac=a2,即 b= a,12 2则 cos B= = .2+(2)2(2)242 34答案:349.(2018福建三校联考)如图,在路边安装路灯,路宽为 OD,灯柱 OB 长为 10 米,灯杆 AB 长为 1 米,且灯杆与灯柱成 120角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴
6、截面的顶角为 2,灯罩轴线AC 与灯杆 AB 垂直.若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点 O,另一条与地面的交点为 E.则该路灯照在路面上的宽度 OE 的长是 米. 解析:在三角形 AOB 中,由余弦定理可得 OA= ,111由正弦定理得 sinBAO= ,53737所以 cos =sinBAO= ,53737sin = ,23375则 sin 2=2sin cos = ,20337sinAEO=sin(60-)= ,在三角形 AOE 中,由正弦定理可得OE= = (米).2答案:三、解答题10.(2018威海二模)在ABC 中,边 BC 上一点 D 满足 ABAD,AD= DC.3(1
7、)若 BD=2DC=2,求边 AC 的长;(2)若 AB=AC,求 sin B.解:(1)因为 ABAD,所以在 RtABD 中,sinABD= = ,所以ABD=60,ABC 中,AB=1,BC=3,由余弦定理可得 AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=1+9-23 =7.12所以 AC= .7(2)在ACD 中,由正弦定理可得= , 因为 AD= DC,3所以 = ,3因为 AB=AC,所以 B=C,所以BAC=180-2B,因为BAD=90,所以DAC=BAC-BAD=180-2B-90=90-2B,所以 = ,3 1(902)所以 = ,3化简得 2 sin2B+sin B-
8、 =0,3 3因为 sin B0,6所以 sin B= .11.(2018东北三校二模)已知ABC 三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).(1)求角 C;(2)若ABC 的外接圆半径为 2,求ABC 周长的最大值.解:(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),所以 a2-c2=ab-b2,所以 = ,2+222 12即 cos C= ,12因为 0C,则 C= .(2)由正弦定理 2r= = = =4,所以 a=4sin A,b=4sin B,c=4sin C=2 ,3所以周长 l=a+b+c=4sin A+4sin B+2 3=4sin A+4sin( -A)+223 3=4sin A+4 cos A+4 sin A+212 3=6sin A+2 cos A+23 3=4 sin(A+ )+2 ,3 3因为 A(0, ),23所以 A+ ( , ),56所以当 A+ = ,即 A= 时,lmax=4 +2 =6 ,3 3 3所以当 A=B= 时,ABC 周长取到最大值为 6 .3
