1、1仿真冲刺卷(七)(时间:120 分钟 满分:150 分)第卷一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018山东、湖北重点中学 3模)已知复数 z= (i为虚数单位),则复数 z的共轭2+2 018复数 的虚部为( )(A)i (B)-i (C)1 (D)-12.(2018湖北省重点高中联考)已知集合 A=1,2,3,B=1,3,4,5,则 AB 的子集个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)163.(2018宁波期末)已知 ab,则条件“c0”是条件“acbc”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分
2、条件(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件4.(2017山东省日照市三模)已知 a=21.2,b= ,c=2log52,则 a,b,c的大小关系是( )(A)bx2),则下列结论正确的是( )(A)11,x1+x21,x1+x20,b0)的焦点为 F1,F2,其中 F2为抛物线 C2:y2= 2px(p0)的焦点,2222设 C1与 C2的一个交点为 P,若|PF 2|=|F1F2|,则 C1的离心率为 . 三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12分)设正项等比数列a n中,a 4=81,且 a2,a3的等差中项为 (a
3、1+a2).32(1)求数列a n的通项公式;(2)若 bn=log3a2n-1,数列b n的前 n项和为 Sn,数列c n满足 cn= ,Tn为数列c n的前n项和,求 Tn.18.(本小题满分 12分)(2018长沙模拟)如图,已知四棱锥 S ABCD,底面梯形 ABCD中,BCAD,平面 SAB平面ABCD,SAB 是等边三角形,已知 AC=2AB=4,BC=2AD=2DC=2 .(1)求证:平面 SAB平面 SAC;(2)求二面角 B SC A的余弦值.19.(本小题满分 12分)(2018福建八校联考)某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况,将两个班的数学成绩(单位:分)绘
4、制成如图所示的茎 叶图.(1)分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数;(2)若规定成绩大于等于 115分为优秀,分别求出两个班级数学成绩的优秀率;(3)从甲班中 130分以上的 5名同学中随机抽取 3人,求至多有 1人的数学成绩在 140分以上的概率.420.(本小题满分 12分)(2017贵州贵阳二模)已知椭圆 C: + =1(a0)的焦点在 x轴上,且椭圆 C的焦距为 2.22 272(1)求椭圆 C的标准方程;(2)过点 R(4,0)的直线 l与椭圆 C交于两点 P,Q,过 P作 PNx 轴且与椭圆 C交于另一点N,F为椭圆 C的右焦点,求证:三点 N,F,Q在同一条直线上.21.
5、(本小题满分 12分)若xD,总有 f(x) 在 x(-1,0)恒成立,求 M的值.10(e=2.718是自然对数的底数, 1.414, 1.260)2 213请考生在第 22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分 10分)选修 4 4:坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程是 ( 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴=2+2,=2 为极轴,建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程是 =4sin .(1)求曲线 C1与 C2交点的平面直角坐标;(2)A,B两点分别在曲线 C1与 C2上,当|AB|最大时,求OAB 的面积(O 为坐标原点).23.(本小题
6、满分 10分)选修 4 5:不等式选讲已知函数 f(x)=|x+1|+|x-3|,g(x)=a-|x-2|.(1)若关于 x的不等式 f(x)bc 不成立,所以充分性不成立,当 时 c0成立,c0也成立,所以必要性成立,所以“c0”是条件“acbc”的必要不充分条件,选 B.54.C 因为 b= =20.2b1.又因为 c=2log52=log540, 函数是增函数,函数的最1小值为 f(1)=1.f( )=-1+e,f(e)=1+ .函数的最大值为-1+e.1 1关于 x的方程 xln x-kx+1=0在区间 ,e上有两个不等实根,则实数 k的取值范围是(1,1+1.故选 A.113.解析:
7、多项式(4x 2-2)(1+ )5展开式中的常数项是 4 -2=18.7答案:1814.解析:以 BC的中点为原点 O,以 BC为 x轴,以 BC边上的高为 y轴建立坐标系,ABC 是直角边为 2的等腰直角三角形,且 A为直角顶点,斜边 BC=2 ,则 A(0, ),B(- ,0),C( ,0),2 2 2 2设 P(x,y),则 + =2 =(-2x,-2y),=(-x, -y),所以 ( + )=2x2+2y2-2 y=2x2+2(y- )2-1,2 2所以当 x=0,y= 时, ( + )取得最小值-1.答案:-115.解析:由约束条件 作出可行域如图,5+315,+1,53, 作出直线
8、 3x+5y=0,因为 x,yZ,所以平移直线 3x+5y=0至(1,2)时,目标函数 z=3x+5y的值最大,最大值为 13.答案:1316.解析:设 P(m,n)位于第一象限,可得 m0,n0,由题意可得 F2( ,0),且双曲线的 c= ,抛物线的准线方程为 x=- ,由抛物线的定义可得 m+ =|PF2|=|F1F2|=2c,即有 m=c,n= =2c,42即 P(c,2c),代入双曲线的方程可得 - =1,22422即为 e2- =1,化为 e4-6e2+1=0,8解得 e2=3+2 (e2=3-2 舍去),2 2可得 e=1+ .2答案:1+ 217.解:(1)设正项等比数列a n
9、的公比为 q(q0),由题意,得 4=13=81,1+12=3(1+1),解得 1=3,=3,所以 an=a1qn-1=3n.(2)由(1)得 bn=log332n-1=2n-1,Sn= = =n2,1+(21)2所以 cn= = ( - ),142112 121 12+1所以 Tn= (1- )+( - )+( - )= .12 13 1315 121 12+118.(1)证明:在BCA 中,由于 AB=2,CA=4,BC=2 ,5所以 AB2+AC2=BC2,故 ABAC.又平面 SAB平面 ABCD,平面 SAB平面 ABCD=AB,AC平面 ABCD,所以 AC平面 SAB,又 AC平
10、面 SAC,故平面 SAC平面 SAB.(2)解:如图,建立空间直角坐标系 A xyz,则 A(0,0,0),B(2,0,0), S(1,0, ),C(0,4,0),3=(1,-4, ), =(-2,4,0), =(0,4,0).3设平面 SBC的法向量 n=(x1,y1,z1),21+41=0,141+ 31=0,令 y1=1,则 x1=2,z1= ,所以 n=(2,1, ).233 233设平面 SCA的法向量m=(x2,y2,z2), 42=0,242+ 32=0,令 x2=- ,所以 m=(- ,0,1).所以|cos|= = ,易知二面角 B SC A的平面3 3| 21919角为锐
11、角,所以二面角 B SC A的余弦值为 .21919919.解:(1)由所给的茎叶图知,甲班 50名同学的成绩由小到大排序,排在第 25,26位的是108,109,数量最多的是 103,故甲班数学成绩的中位数是 108.5,众数是 103;乙班 48名同学的成绩由小到大排序,排在第 24,25位的是 106,107,数量最多的是 92和 101,故乙班数学成绩的中位数是 106.5,众数为 92和 101.(2)由茎叶图中的数据可知,甲班中数学成绩为优秀的人数为 20,优秀率为 = ;乙班中数205025学成绩为优秀的人数为 18,优秀率为 = .184838(3)将分数为 131,132,1
12、36的 3人分别记为 a,b,c,分数为 141,146的 2人分别记为 m,n,则从 5人中抽取 3人的不同情况有 abc,abm, abn,acm,acn,amn,bcm,bcn,bmn,cmn,共 10种情况.记“至多有 1人的数学成绩在 140分以上”为事件 M,则事件 M包含的情况有abc,abm,abn,acm,acn,bcm,bcn,共 7种情况,所以从这 5名同学中随机抽取 3人,至多有 1人的数学成绩在 140分以上的概率为 P(M)= .20.(1)解:因为椭圆 C: + =1(a0)的焦点在 x轴上 ,22 272所以 a27-a20,即 0,x 1+x2= ,x1x2=
13、 ,642123+42由题可得直线 QN的方程为 y+y1= (x-x1),2+121又因为 y1=k(x1-4),y2=k(x2-4),所以直线 QN的方程为 y+k(x1-4)= (x-x1),令 y=0,整理得x= +x1=124221+411+282124(1+2)1+2810= = =1,即直线 QN过点(1,0),又因为椭圆 C的右焦点坐标为 F(1,0),所以三点 N,F,Q在同一条直线上.21.(1)证明:令 (x)=ex-1-x,则 (x)=e x-1.当 x (0)=0,故对x(-1,0) 都有 ex1+x.再令 t(x)=ex-1-x- ,当 x0,故 t(x)在(-1,
14、0)上为增函数.因此 t(x)2(1+x)+ -22 -20.828.2又 h(x)=2ex+ -2 ,则12 12 10M=8.22.解:(1)因为曲线 C1的参数方程是 ( 为参数),=2+2,=2 所以曲线 C1的平面直角坐标方程为(x+2) 2+y2=4.又由曲线 C2的极坐标方程是 =4sin ,得 2=4sin ,所以 x2+y2=4y,把两式作差,得 y=-x,代入 x2+y2=4y,得 2x2+4x=0,解得 或所以曲线 C1与 C2交点的平面直角坐标为(0,0),(-2,2).(2)如图,由平面几何知识可知,当 A,C1,C2,B依次排列且共线时,|AB|最大,此时|AB|=2 +4,2O到 AB的距离为 ,所以OAB 的面积为S= (2 +4)12 2 2=2+2 .223.解:(1)f(x)4,即 a的取值范围为(4,+).(2)由(1)f(x)3,由 3b-4= 得 b= = (不合题),7212若 2b3,则 b+2= ,b= (不合题),92若-1b2,则-b+6= ,b=- (合题).12则 a+b= - =6.12
