1、第三讲 导数的简单应用,热点题型1 导数的几何意义 【感悟经典】 【典例】1.(2018全国卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2 +ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切 线方程为 ( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x,2.(2017天津高考)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为_. 3.直线l:y=kx与曲线C:y=x3-3x2+2x切于点P(x0,y0) (x00),则k=_.,【联想解题】 1.该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0) 处的切线方程的问题
2、,在求解的过程中,首先需要确定 函数解析式,利用奇函数不存在偶次项,偶函数不存在 奇次项,从而求得相应的参数值,之后利用求导公式求 得f(0),结合直线方程的点斜式求得结果.,2.看到曲线的切线,想到利用导数的几何意义. 3.看到直线与曲线切于点P(x0,y0),求 k,想到k= .,【规范解答】 1.选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f(0)=1,所以切线方程为y=x.,2.f(1)=a,切点为(1,a),f(x)=a- ,则切线的斜率 为f(1)=a-1,切线方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0得出 y=1,l在y轴的截距
3、为1. 答案:1,3.由l过原点知,k= (x00),又点P(x0,y0)在曲线C上, 所以y0=x03 -3x02+2x0,得 =x02-3x0+2. 因为y=3x2-6x+2,故k=3x02-6x0+2. 又k= ,所以3x02-6x0+2=x02-3x0+2,其中x00, 解得x0= .所以y0=- ,所以k= =- . 答案:-,【规律方法】 求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程.,(2)已知切线的斜率k,求切线方程 设切点P(x0,y0),通过方程k=f(x0)解得x0,再由点斜式写出方程
4、.,(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.,【对点训练】 1.若曲线y=ln x+ax2-2x(a为常数)不存在斜率为负数的切线,则实数a的取值范围是_.,【解析】f(x)= +2ax-2= (x0),由题意 得f(x)0在x0时恒成立,所以2ax2-2x+10在x0 时恒成立,即2a 所以a ,所以a的取值范围为 . 答案:,2.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为 常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线 7x+2y+3
5、=0平行,则a+b的值是_.,【解析】曲线y=ax2+ 过点(2,-5), 则4a+ =-5, 又y=2ax- , 所以由题意4a- =- , 由得 故a+b=-3. 答案:-3,【提分备选】1.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为_.,【解析】因为y=-5ex+3,所以y=-5ex,故所求的切线的斜率为k=-5e0=-5, 故所求的切线的方程为y-(-2)=-5x, 即y=-5x-2或5x+y+2=0. 答案:y=-5x-2或5x+y+2=0,2.函数y=xex在其极值点处的切线方程为_.,【解析】y=f(x)=xexf(x)=(1+x)ex, 令f(x)=0x=-1,此时f(
6、-1)=- , 函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=- . 答案:y=-,热点题型2 利用导数研究函数的单调性问题 【感悟经典】 【典例】1.(2018德州一模)已知函数f(x)(xR)满 足f(1)=1,且f(x)的导数f(x) ,则不等式f(x2)的解集为_.,2.(2018合肥一模)已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1,讨论函数f(x)的单调性.,【联想解题】 1.构造合理的导函数,利用单调性解不等式. 2.求导分类讨论,解不等式.,【规范解答】1.设F(x)=f(x)- x,所以F(x)=f(x) - ,因为f(x)1,即x(-,-1)(1,+). 答案:(-,-1)
7、(1,+),2.f(x)的定义域为(0,+),f(x)= +2ax= (1)当a1时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增. (2)当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递减.,(3)当00, 故f(x)在 上单调递减, 在 上单调递增.,【规律方法】 求可导函数单调区间的方法 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f(x). (3)解方程f(x)=0在定义域的所有实数根.,(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间. (5)确定f(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.,【对点训练】 1
8、.若函数f(x)=ln x- ax2-2x存在单调递减区间,则实 数a的取值范围是 ( ) A.(-1,+) B.-1,+) C.(-,1 D.(-1,0),【解析】选A.f(x)= -ax-2= ,由题意知 f(x)0,所以ax2+2x-10有实数解. 当a0时,显然满足;当a0,所以 -1-1.,2.已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a0. (1)设g(x)为f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性. (2)证明:存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.,【解析】(1)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+), g(x)=f
9、(x)=2(x-1-ln x-a), 所以g(x)=2- 当x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递增.,(2)由f (x)=2(x-1-ln x-a)=0, 解得a=x-1-ln x, 令(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2= (1+ln x)2-2xln x, 则(1)=10,(e)=2(2-e)0, 于是存在x0(1,e),使得(x0)=0,令a0=x0-1-ln x0=u(x0), 其中u(x)=x-1-ln x(x1), 由u(x)=1- 0知,函数u(x)在区间(1,+)上单调 递增,故0=u(1)a0=u(x0)u(e)=e-21, 即
10、a0(0,1).,当a=a0时,有f (x0)=0,f(x0)=(x0)=0 再由(1)知,f(x)在区间(1,+)上单调递增, 当x(1,x0)时,f (x)f(x0)=0, 当x(x0,+)时,f (x)0,从而f(x)f(x0)=0, 又当x(0,1时,f(x)=(x-a0)2-2xln x0,故x(0,+)时,f(x)0. 综上所述,存在a(0,1),使得f(x)0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+)内有唯一解.,【提分备选】1.设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶
11、函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数,【解析】选A.f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域为 (-1,1),函数f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以函数 为奇函数,f(x)= 在(0,1)上单调 递增.,2.已知函数f(x)=xcos x-sin x+1(x0).求f(x)的单调区间.,【解析】函数f(x)求导可得 f(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x(x0), 令f(x)=0可得x=k(kN*), 当x(2k,(2k+1)(kN*)时,sin x0.此时 f(x)0,故函数f(x)的单调递减区间为(2
12、k,(2k+1)(kN*), 单调递增区间为(2k+1),(2k+2)(kN*).,热点题型3 利用导数解决函数极(最)值问题 【感悟经典】 【典例】(2018湖北一模)设a0,函数f(x)= x2- (a+1)x+aln x. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3)处切线的斜率. (2)求函数f(x)的极值.,【联想解题】1.看到求切线斜率,想到先求f(x),再求f(x0). 2.看到求极值,想到先求f(x),再判增减性,先增后减有极大值,先减后增,有极小值.,【规范解答】(1)由已知x0. 当a=2时,f(x)=x-3+ , 所以曲线y=f(x)在点(3,f(3)处切线的斜
13、率为 f(3)= .,(2)f(x)=x-(a+1)+ 由f(x)=0得x=1或x=a.,若00,函数f(x)单调递增; 当x(a,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增. 所以当x=a时,f(x)取极大值f(a)=- a2-a+aln a, 当x=1时,f(x)取极小值f(1)=-a- .,若a1,当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)单调递增; 当x(1,a)时,f(x)0,函数f(x)单调递增. 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=-a- ; 当x=a时,f(x)取极小值f(a)=- a2-a+aln a.,当a=1时,x0时,f(x)0,函数f(x)单调递增,f(x) 没有
14、极值. 综上,当01时,f(x)的极大值为-a- ,极小值为- a2-a+alna; 当a=1时,f(x)没有极值.,【规律方法】 1.求函数y=f(x)在某个区间上的极值的步骤 (1)求导数f(x). (2)求方程f(x)=0的根x0.,(3)检查f(x)在方程f(x)=0的根x0左右的符号: “左正右负f(x)在x0取极大值”; “左负右正f(x)在x0取极小值”.,2.求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值).,(2)将y=f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最
15、小值. 提醒:利用导数研究函数的极值和最值时,一般应首先考虑函数的定义域.,【对点训练】 (2018广东五校联考)已知函数f(x)=x(ln x-ax)有极 值,则实数a的取值范围是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选A.f(x)=xln x-ax2(x0),f(x)=ln x+1 -2ax.令g(x)=ln x+1-2ax,则g(x)= -2a= . 因为函数f(x)=x(ln x-ax)有极值,所以g(x)=0在 (0,+)上有实根.,当a0时,g(x)0,函数g(x)在(0,+)上单调递增,当x趋向于0时,g(x)趋向于-,当x趋向于+时,g(x)趋向于+,故存在x0(0,+),
16、使得f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,故f(x)存在极小值f(x0),符合题意.,当a0时,令g(x)=0,得x= .当00, 函数g(x)单调递增;当x 时,g(x)0,解得0a .,综上可知,实数a的取值范围是,【提分备选】(2017江苏高考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数f(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量 的值) (1)求b关于a 的函数关系式,并写出定义域.,(2)证明:b23a. (3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于 - ,求a的取值范围.,【解析】(1)由f(
17、x)=x3+ax2+bx+1,得 f(x)=3x2+2ax+b=3 +b- . 当x=- 时,f(x)有极小值b- . 因为f(x)的极值点是f(x)的零点. 所以,又a0,故b= 因为f(x)有极值,故f(x)=0有实根, 从而 (27-a3)0,即a3. a=3时,f(x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数, f(x)没有极值;,a3时,f(x)=0有两个相异的实根,列表如下,故f(x)的极值点是x1,x2. 从而a3, 因此 ,定义域为(3,+).,(2)由(1)知, 设g(t)= ,则g(t)= 当t 时,g(t)0, 从而g(t)在 上单调递增,因为a3,所以a 3 , 故g(a
18、 )g(3 )= ,即 因此b23a.,(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2, 且x1+x2=- a, 从而f(x1)+f(x2)= +2=0,记f(x),f(x)所有极值之和为h(a), 因为f(x)的极值为 所以h(a)= ,a3.,因为h(a)= 0,于是h(a)在(3,+)上单调 递减. 因为h(6)=- ,于是h(a)h(6),故a6. 因此a的取值范围为(3,6.,逻辑推理含有参数的导数的应用中的数学素养 【相关链接】 1.含参问题主要包括:(1)含有参数的不等式的求解. (2)含有参数的方程的求解.(3)函数解析式中含有参数 的单调性和最值问题.(4)二元二次方程表示曲
19、线类型,的判定等.在求解时要结合参数的意义,对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论,在分类时要本着最简原则,做到分类合理、不重不漏. 2.对参数的分类讨论,最后仍然分类写出答案;如果是对所求的字母进行分类求解,最后一般要整理得出并集.,【典例】(2018临沂一模)已知函数f(x)= x2+mx+ ln x. (1)若m=-3,讨论函数f(x)的单调性,并写出单调区间. (2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),且m- ,求 f(x1)-f(x2)的最小值.,【解题指南】(1)求导,对m进行分类讨论;(2)化简函数构造新函数研究导数,从而求最值.,【规范解答】(1)当m=-3时,f
20、(x)= x2-3x+ln x, 依题意,x0,且f(x)=x-3+ = , 令f(x)0,得0 , 令f(x)0,得 x . 因此函数f(x)在 上单调递减,在 和 上单调递增.,(2)由题意知,f(x)=x+m+ = ,则易知x1,x2 为x2+mx+1=0的两个根,且x1+x2=-m,x1x2=1, 所以f(x1)-f(x2)= +mx1+lnx1- -mx2-ln x2=( )+m(x1-x2)+ln x1-ln x2 = ( )-(x1+x2)(x1-x2)+ln x1-ln x2,=ln ( ) =ln =ln 记 =t,由x1x2且m- 知0t1, 且f(x1)-f(x2)=ln
21、 t- , 记(t)=ln t- ,则(t)= 0,故(t)在(0,1)上单 调递减. 由m- 知(x1+x2)2 ,从而 , 即 ,故t+ , 结合0t1,解得0t ,从而(t)的最小值为 = -ln 2, 即f(x1)-f(x2)的最小值为 -ln 2.,【通关题组】 1.已知函数f(x)= 则满足f(a)2的实数 a的取值范围是 ( ) A.(-,-2)(0,+) B.(-1,0) C.(-2,0) D.(-,-10,+),【解析】选D. 当a-1时,f(a)=2-2a2, 解得a- ,此时a-1; 当a-1时,f(a)=2a+22,解得a0,此时a0.故实数a的取值范围是(-,-10,
22、+).,2.(2018宜昌一模)已知函数f(x)=x2-2ax+lnx(aR). (1)讨论函数f(x)的单调区间. (2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),且f(x2) -1恒成立,求实数m的取值范围.,【解析】(1)f(x)=2x-2a+ = (x0), 当a0时,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)上单调递增; 当 ,即00,f(x)在 (0,+)上单调递增; 当 ,即a 时,由f(x)0解得0 ;,综上可知,当a 时,f(x)在(0,+)上单调递增; 当a 时,f(x)在 上单调 递增,在 上单调递减.,(2)由(1)知,2x2-2ax+1=0的两根为x1,x2(x1 , 则x1+x2=a,x1x2= ,由x1x2知,0x1 x2, f(x2)= -2ax2+lnx2= -2(x1+x2)x2+lnx2= - -2x1x2+lnx2=- -1+lnx2,不等式f(x2) -1可化为- -1+lnx22mx2-1, 即-x2+ 2m, 令g(x)=-x+ , g(x)=-1+ = .,由h(x)=-x2+1-lnx在 上单调递减, 且h(1)=0,则g(x)0的解为 x1, 故g(x)在 上单调递增,在(1,+)上单调递减, 则g(x)max=g(1)=-1, 依题知-12m,所以m- .,
