1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 7 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A 为 3 阶方阵且 ，则一 2A= ( )（A）一 4（B） 4C（C）一 1（D）12 若 AB=AC，能推出 B=C，其中 A，B，C 为同阶方阵，则 A 应满足条件( )（A）A0（B） A=0（C） A=0（D）A03 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若
2、矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(I mO)的形式4 若 1,2,3 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列答案中也是 Ax=0 的基础解系的为( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1， 2， 3 的任意三个线性组合（C） 1， 1 一 2， 1 一 2 一 3（D） 1，2 1,315 设 则 A 的属于特征值 O 的特征向量是( )（A）(1 ，1，2) T （B） (1，2，3) T（C） (1，0，1) T（D）(1 ，1，1) T二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 函数 中，x 3 的系数为
3、_7 设 ，则 A-1=_8 设矩阵 则 ATB_9 设向 I 组工的秩为 r1，向量组的秩为 r2，且 I 可由表出，则 r1，r 2 的关系为_10 设矩阵 ，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量个数为_11 三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2，且 1=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T 是Ax=b 的两个解，则 Ax=b 的通解为_12 已知 3 阶矩阵 A 的 3 个特征值为 1，2，3，则 A*=_.13 若 ，则A=_14 设向量 =(1，1，1) ，则它的单位化向量为_15 f(x1，x 2， x3)=(k+1)x12+kx22+(k 一 2)
4、x32 为正定二次型，则 k_三、计算题16 计算17 已知 AP=PB，其中 , 求 A 及 A518 a、b 为何值时，向量 =(3，10，6，4) 可由向量组 1=(1，4，0，2)，2=(2， 7，1， 3)， 3=(0， 1，一 1，a) 线性表出18 设向量组 又向量求：19 a、b 为何值时 不能由 1,2,3,4 线性表示?20 a、b 为何值时 能由 1,2,3， 4 线性表示且表示式不惟一 ?20 已知线性方程组21 讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解22 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)23 设三阶实对称矩
5、阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3=1，A 对应于 1=一 1 的特征向量为 ，求 A.24 用配方法将二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+3x32 一 4x1x24x2x3 化为标准型并写出可逆线性变换四、证明题25 已知向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， ， m， 有相同的秩，证明：可由 1， 2， ， m 线性表示全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 7 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 答案为 A2 【正确答案】 D【试
6、题解析】 若 AB=AC,则 A(B-C)=0，故当 A 可逆，即A 0 时 B=C 答案为D。3 【正确答案】 D【试题解析】 矩阵 Amn 的秩 r(A)=mn故 A 的行满秩，列不满秩，A 的 m 个列向量可能线性无关也可能线性相关，且 A 通过初等行变换，可以化为 (ImO)形式，故选 D 答案为 D。4 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与 1,2,3 等价答案为 C。5 【正确答案】 B【试题解析】 用定义 Ax=x 来判断，这时 =0，故计算 Ax 的值，使 Ax=0 的向量x 就是 A 的属于特征值 0 的特征向量当 x=(1，2，3
7、) T 时，有 Ax=0答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 2【试题解析】 只有主对角线上都含有 x，项，由行列式的性质得 2z(一 x)(一 x)=2x3， x3 的系数为 27 【正确答案】 【试题解析】 A=1 利用公式 由 知故8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 r 1r2【试题解析】 向量组 I 可由表出，故向量组 I 的秩向量组的秩，即 r1r210 【正确答案】 2【试题解析】 由此得 r(A)=2，所以 AX=0 的自由未知量有 42=2 个，基础解系中含有 2 个解向量11 【正确答案】 【试题解析】 r(A
8、)=2 知三元非齐次方程 Ax=b 的基础解系只有一个解向量，1=(1，2，2) T， 2=(3，2，1) T 是 Ax=b 的两个解，故 1 一 2=(一 2，0，1) T 是Ax=0 的一个解向量，故 Ax=b 的通解为 (c 为任意常数)12 【正确答案】 36【试题解析】 而 1=1， 2=2， 3=3A =123=6 AA*=A E AA*=6E 两边同时求行列式有， AA*= 6E=6 3A A *=6 3 A *=36 13 【正确答案】 72【试题解析】 故14 【正确答案】 【试题解析】 根据单位向量定义可知：a=1 为单位向量=(1，1，1)的单位化向量为答案为15 【正确
9、答案】 k2【试题解析】 它是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数k 2三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 由于 因此 P 可逆并且 A=PBP-1，所以18 【正确答案】 当b=2，a1 时， 可由 1,2,3 线性表出，且表示法惟一，= 一 1+22+03当b=2，a=1 时， 可由 1,2,3 线性表出，且表示法不惟一=一(2k+1) 1+(k+2)2+k319 【正确答案】 设 =x11+x22+x33+x44，则 x1，x 2，x 3,x4 是线性方程组的解，对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有(1)当 a=1 且 b=4 时，系数矩阵的秩=2 ，而增广矩阵的秩=3
10、 ，所以方程组无解，即 a=1 且 b=4 时 不能由1,2,3,4 线性表示；20 【正确答案】 当 a=1 且 b=3 时，系数矩阵的秩=3，而增广矩阵的秩=3，所以方程组有解且有无穷多解，即 可由 1,2,3,4 线性表示且表示式不惟一；又当 a1时，如果 a+b 一 5=0，即 b=5 一 a，则系数矩阵秩=3 且增广矩阵秩=3，方程组有解且有无穷多解，所以 可由 1,2,3,4 线性表示且表示式不惟一21 【正确答案】 将线性方程组的增广矩阵 作初等行变换当 =一 2 时，r(A)=2， ，方程组无解；当 一 2 且 1时， ，方程组有惟一解；当 =1时， ，方程组有无穷多个解22
11、【正确答案】 当 =1时, 同解方程组为 x1=一 2 一 x2 一x3对应齐次方程组的基础解系为 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T 非齐次方程组的一个特解 =(一 20，0) T，所以原方程组的通解为 x=k11+k22+(k1，k 2 为任意常数)23 【正确答案】 设属于 2=3=1 的特征向量为 则由(，x)=0 可得到x2+x3=0于是得到两个线性无关的解向量 令可使得 所以24 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x22+3x32 一 4x1x24x 2x3=(x124x 1x2+4x22)一2x22 一 4x2x3+3x32=(x2 一 2x2)2 一 2(x22+2x2x32+x3)+5x32=(x12x2)2 一 2(x2+x3)2+5x32令 即 则经过线性变换得将二次型化为标准型f=y12 一 2y22+5y32四、证明题25 【正确答案】 设 是 1， 2， m 的一个极大无关组，由于 1， 2， ， m， 的秩也是 r，所以 也是1， 3， m， 的一个极大无关组，所以 可由 线性表示，而 仅是 1， 2， m 的一个部分向量组，所以 也可由 1， 2， m 线性表示
