1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 30 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A= ，当 x 与 y 满足_ 时，有 AB=BA( )（A）2x=7（B） 2y=x（C） y=x+1（D）y=x 一 12 如果 n 阶方阵 A 满足 ATA=AA T=I，则 A 的行列式A 为 ( )（A）A=1（B） A= 一 1（C） A=1 或一 1（D）A=03 设 A 是 n 阶方阵，已知 A2 一 2A2I=O，则(A+I) -1=( )（A）3I A（B） 3I+A（C） A 一 3I（
2、D）4 已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，则矩阵 A 可为 ( )（A）(5 ，一 3，一 1)（B）（C）（D）5 齐次线性方程组 的自由未知量是 ( )（A）x 1，x 2（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 4二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 中元素 的代数余子式的值为_7 设 a、b、c 为互异实数，则 =0 的充要条件为_8 设 A 为 n 阶方阵且A=3，则(3A T)-1=_9 若 =3，则 k=_10 由 m 个 n 维向量组成的向量组，当_ 时，向量组一定线性相关11 设 1， 2， ， r 是非齐次线性方程
3、组 AX= 的解，若 k11+k22+krr 也是AX= 的解，则 k1，k 2，k r 满足的条件是_ 12 矩阵 A= 的非零特征值是_ 13 实对称矩阵 A 满足 A2+A2+A=3I，则 A=_14 在 R3 中向量 = 与任意向量均正交，则 =_15 二次型的矩阵为 A= ，则规范型为 _三、计算题16 计算 D= 17 计算行列式 18 设矩阵 A= ，求 A 在初等变换下的标准型并求 A 的秩19 求向量组 1=(1，2，1，0) T， 2=(1，1，1，2) T， 3=(3，4，3，4) T， 4(4，5， 6，4) T 的秩与一个极大线性无关组20 设 3 阶方阵 A 的特征
4、值为 1=1， 2=0， 3=一 1，并且 A 属于 1， 2， 3 的特征向量分别为 1= ，求矩阵 A 及 A521 已知 2 是三阶方阵 A= 的二重特征值，求 A 的另一个特征值，并求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角阵22 设三阶实对称矩阵 A 满足 A2+2A=O，而且 r(A)=2 (1)求出 A 的全体特征值 (2)当 k 为何值时， kE3+A 必为正定矩阵?四、证明题23 如果 Ak=O(k 为正整数 )，求证： (EA) -1=E+A+A2+Ak1全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 30 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，
5、请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 解得 y=x+1答案为 C。2 【正确答案】 C【试题解析】 AA T=AA T=A 2=I=1 ，所以A=1 答案为 C。3 【正确答案】 A【试题解析】 把已知关系式 A22A2I=O 写成(A+I)M=I 的形式，则 M 是(A+I)的逆方阵由题设关系式 A2 一 2A 一 2I=O，可得 A(A+I)一 3(A+I)=一 I，即(A+I)(3IA)=I，故(A+I) -1=3IA答案为 A。4 【正确答案】 A【试题解析】 将四个选项代入验证 Ax=0 是否成立即可答案为 A。5 【正确答案】
6、 C【试题解析】 对系数矩阵作初等变换得：所以 x2，x 4 为自由未知量答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 42【试题解析】 的代数余子式为 (一 1)4+3 =427 【正确答案】 a+b+c=0【试题解析】 abc 为互异实数8 【正确答案】 【试题解析】 (3A T)-1 =9 【正确答案】 k1 且 k2【试题解析】 =(k 一 1)2(k+2)0，故 k1 且 k一 210 【正确答案】 mn【试题解析】 由于向量组里都是 n 维向量，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关，故mn 时，向量组线性相关11 【正确答案】 k 1，
7、k 2，k r=1【试题解析】 由于 Ai=，i=1，2，r，因此 A(k11+k22+krr) =k11+k22+krr=(k1，k 2，k r)=， 所以 k1，k 2，k r=112 【正确答案】 =4【试题解析】 A 的特征多项式为13 【正确答案】 I【试题解析】 设矩阵 A 的特征值为 ，则有 3+2+=3，即(1)( 2+2+3)=0由于实对称矩阵的特征值是实数，故 2+2+3=(+1)2+20，由此可得 A 只有惟一的三重特征值 1，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=I，于是有 A=PIP-1=I14 【正确答案】 0【试题解析】 由于( 1，e1)=a 1=0，( 1，e
8、2)=a 2=0， (1，e3)=a 3=0，所以 为零向量，故=015 【正确答案】 y 12+2y22y32【试题解析】 作可逆线性变换二次型化为规范型y12+2y22y32三、计算题16 【正确答案】 将第一行乘 1 加到第二行上，再将新的第二行乘 1 加到第三行上，依次类推，最后可得行列式的值为 117 【正确答案】 =2(x+y)(一 x2+xyy2)=一 2(x3+y3)18 【正确答案】 对矩阵 A 作初等变换，有为A 在初等变换下的标准型，并且 r(A)=219 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4 为列向量构成矩阵 A由此可知 B 的列向量组的秩为 3，且第 1，2，4 列
9、为 B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以向量组 1， 2， 3， 4 的秩为 3， 1， 2， 4 为其一个极大线性无关组( 1， 3， 4 也是一个极大线性无关组)20 【正确答案】 由于 Ai=i， i=1，2，3，所以令21 【正确答案】 设 A 的另一个特征值为 ，则 2+2+=tr(A)，即 2+2+=1+4+5，所以 =6对应于 1=2=2 的特征向量为22 【正确答案】 (1)设矩阵 A 的特征值为 ，则有 A2+2A=0 知， 2+2=0，故 =0或 =2因为 r(A)=2，=0 不可能是二重根，故 是二重根 (2)kE 3+A 的特征值为 k+，kE 3+A 为正定矩阵的充要条件是 kE3+A 有 3 个大于 0 的特征值，故当k0 时，k+0，kE 3+A 必为正定矩阵四、证明题23 【正确答案】 (E A)(E+A+A2+Ak1)=E
