1、2017 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在空间直角坐标系中，点(1，2，6)关于 z 轴的对称点的坐标是 ( )（A）(一 1，一 2，6)（B） (一 1，一 2，一 6)（C） (一 1，2，一 6)（D）(1 ，一 2，6)2 极限 ( )（A）等于 0（B）等于 1（C）等于 3（D）不存在3 设积分区域 D 是由 x= ，y=x 及 y=0 所围成，二重积分化为极坐标下的二次积分为 ( )4 以 y=e-2x 为特解的微分方程是 ( )（
2、A）y“+5y+6y=0（B） y“-5y+6y=0（C） y“y2y=0（D）y“一 4y+4y=05 幂级数 的收敛域是 ( )（A）一 3，3（B） (一 3，3)（C） 一 2，4（D）(一 2，4)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知向量 =4，0，3) ，=2，1，5)，则(一 3)=_7 已知函数 z=y3ex，则 =_8 二次积分 ydx 的值是_9 微分方程 xdx+ydy=0 的通解为_10 无穷级数 和 S=_三、计算题11 求直线 L1： 和直线 L2：的夹角 12 已知函数 z=f(2xy， )，其中 f 为可微函数，求 和 13 求曲
3、线 x=2sint，y=6cost，z=一 4sin2t 在对应于 t= 的点处的法平面方程14 问在空间的哪些点上，函数 u=x3+y3+z3 一 3xyz 的梯度平行于 y 轴15 计算二重积分 (x2+y)dxdy，其中积分区域 D：x 2+y2916 计算三重积分 (x+y+z )dv，其中积分区域 ：x 2+y21，0z217 计算对弧长的曲线积分 (x2+y2)3ds，其中 C 是曲线 x= 18 计算对面积的曲面积分 (3 一 yz)dS，其中是平面 x+y+z 一 1=0。在第一卦限中的部分19 求微分方程 x +2y= 的通解20 求微分方程 y“+y=0 的通解21 判断无
4、穷级数 是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?22 已知周期为 2 的周期函数 f(x)在，) 上的表达式为，S(x)是 f(x)傅里叶级数的和函数，求 S(5)四、综合题23 将数 a2 分为三个正数之和，使得它们的乘积最大24 验证(5x 4+3xy2 一 y3)dx+(3x2y 一 3xy+y2)dy 在整个 Oxy 平面内是某一个二元函数u(x，y)的全微分，并求这样的一个 u(x，y) 25 将函数 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数2017 年 4 月全国自考高等数学（工本）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写
5、在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 C3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 x= ，则 x2+y2=4 且 x0，故4 【正确答案】 A5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 ，则当x1 ，则原级数发散；当 x=4 时，则原级数发散故幂级数 的收敛域为(一 2，4)二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 9，42，一 12【试题解析】 (3)=12,0,92，1，5=9,42,127 【正确答案】 3y 2ex8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 x 2+y2=C10 【正确答案】 【试题解析
6、】 因为三、计算题11 【正确答案】 因为 s1=一 1，0，1) ，s 2=1，1，0) ， 所以 cos=，从而 =12 【正确答案】 ， 13 【正确答案】 因为 所以曲线在对应于 t= 的点处的法平面的法向量为 ，一 3 ，一 4)，又曲线对应于t= 的点为 ( ，3 ，一 2)，从而所求法平面方程为， 即为14 【正确答案】 =3x23yz， =3y23xz， =3z23xy，则 gradu=3x2一 3yz，3y 2 一 3xz，3z 2 一 3xy) 又 y 轴上单位向量为0，1，0 ，且梯度平行于y 轴， 则 ， 所以 即在曲线 上的点处，函数 u 的梯度平行于 y 轴15 【
7、正确答案】 16 【正确答案】 因为 ：x 2+y21，0z2， 所以17 【正确答案】 因为曲线 C：x 2+y2=2，x0 ， 所以18 【正确答案】 ：z=1 一 xy，D xy：0x1，0y1 一 x， 19 【正确答案】 所求方程可化为： ， 则通解为 y=20 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为：r 2+1=0 则其根 r1=一 i，r 2=i 从而所求通解为 y=C1cosx+C2sinx21 【正确答案】 ，而级数 收敛， 所以收敛 从而 收敛，且为绝对收敛22 【正确答案】 因为 f(x)以 2 为周期且在点 x=5 处不连续， 所以 S(5)=S() 四、综合题23 【正确答案】 设所求三个正数为 x，y，z，则 x+y+z=a2， 令 S=xyz，则可设F(x，y，z)=xyz+(x+y+z a2)， 令 Fx=yz+=0， F y=xz+=0， F z=xy+=0， x+y+z=a2， 可解得 x=y=z= 则三个正数均为 时，它们的乘积最大24 【正确答案】 设 P(x，y)=5x 4+3xy2 一 y3，Q(x，y)=3x 2y 一 3xy2+y2， 因为=6xy 一 3y2= 在整个 Oxy 平面内成立 所以 P(x，y)dx+Q(x，y)dy 在整个Oxy 平面内是某个二元函数的全微分 且可取 u(x，y)=25 【正确答案】
