1、2016 年 10 月全国自考高等数学（工本）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 在空间直角坐标系中，点 P(14，一 3，24)在 ( )（A）第二卦限（B）第三卦限（C）第四卦限（D）第五卦限2 已知 z=ylnxy，则 = ( )3 设积分区域 D：x 2+y21，则二重积分 ( )4 下列微分方程中属于可分离变量的微分方程是 ( )（A） =exy（B） (xxy2)dx+(y+x2 y)dy=0（C） y +yx=0（D）x +y=ex5 设无穷级数 发散，则在下列数值中 p
2、的取值为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 点 P(一 3，4，一 5)到 x 轴的距离为_7 已知 f(x+y， )=x2 一 y2，则 f(x，y)=_8 设积分区域 D：x+ya ，且二重积分 =8，则常数 a=_9 微分方程 y“一 y=e3x 的特解 y*=_10 已知无穷级数 ，则un=_三、计算题11 求过点 B(4，1，2)并且与平面 2x+3yz 一 5=0 平行的平面方程12 已知函数 z=arctan ，求全微分 dz13 求空间曲线 x=3cost， y=3sint，z=4t 在对应于 t= 的点处
3、的切线方程14 求函数 f(x，y，z)=xy+x 2yz+2z 在点 P0(-1，1，2)处的梯度 gradf(-1，1，2)15 计算二重积分 ，其中积分区域 D 是由 x=y，x=y+1，x=1 及 x=2所围成的16 计算三重积分 (x2+y2+z21)dv，其中积分区域 ：x 2+y2+z21，z017 计算对弧长的曲线积分 ，其中 C 为从点 A(0，-1)到点B(-3,0)的直线段18 计算对坐标的曲线积分 (x+1)dx+ydy，其中 C 是曲线 y= 上从点A(1，0)到点 B(-1，0)的一段弧19 求微分方程 =1+x2 的通解20 求微分方程 y“+3y+2y=0 的通
4、解21 判断无穷级数 的敛散性22 已知 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在一 ，) 上的表达式为 f(x)=x+1，求f(x)傅里叶级数 (ancosnx+bnsinnx)中的系数 a4四、综合题23 求函数 f(x，y)=x 2+y2 在约束条件 x+y= 下的极值24 证明曲线积分 (eycosx+20ex)dx+(eysinx+14cosy)dy 在整个 xOy 面内与路径无关25 将函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数2016 年 10 月全国自考高等数学（工本）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错
5、选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 z=ylnxy，所以 3 【正确答案】 D4 【正确答案】 B【试题解析】 (x-xy 2)dx+(y+x2y)dy=0 y(1+x2)dy=一 x(1 一 y2)dy dy= dx故 B 项为可分离变量的微分方程5 【正确答案】 A二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 7 【正确答案】 【试题解析】 令 ，则 y= ，f(x+y， )=x2 一 y2=(x+y)(x+y一 2y)， f(u，v)= ，即 f(x,y)= 8 【正确答案】 29 【正确答案】 e3x【试题解
6、析】 y“一 y=e3x 对应的齐次方程为 y“一 y=0，其特征方程为 r21=0，r 1=1，r 2=一 1，所以该非齐次微分方程的特解为 y*=C1e3x，代入 y“一 y=e3x得 8C1e3x=e3x，C 1= ，即原微分方程的特解为 y*= e3x10 【正确答案】 三、计算题11 【正确答案】 因为所求平面与 2x+3yz 一 5=0 平行，所以所求平面法向量为n=2，3，一 1)，又过点 B(4，1，2)，则所求平面方程为 2(x 一 4)+3(y 一 1)一(z一 2)=0 即为：2x+3yz 一 9=012 【正确答案】 ，则 dz13 【正确答案】 因为 x=一 3sin
7、t，y=3cost，z=4， 所以当 t= 时，切向量 S=一， ，4， 又 t= 对应曲线上点 p( ) 所以，所求切线方程为：14 【正确答案】 =1+2xyz， =一 1+x2z， =x2y+2， gradf(x，y，z)=1+2xyz，一 1+x2z，x 2y+2， 则 gradf(-1，1，2)=一 3，1，315 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 C：y= x 一 1(-3x0)， ds=从而18 【正确答案】 C：y= ，则参数方程为：x=cos，y=sin， ：0 从而19 【正确答案】 y= ， 即为所求通解20 【正确答案】 特征方程为：r 2+3r+2
8、=0，特征根 r1=一 1，r 2=一 2， 所求通解为：y=C1e-x+C2e-2x21 【正确答案】 令 ， 因为收敛22 【正确答案】 a 4=四、综合题23 【正确答案】 将 y= 一 x 代入 f(x，y)=x 2+y2，令 g(x)=x2+( 一 x)2， 由 g(x)=2x-2( 一 x)，得 g(x)的驻点 x0= ， 由 g“(x0)=40，得 x0 是 g(x)的极小值点 从而函数 f(x，y)=x 2+y2 在条件 x+y= 下， 在点( )处取得极小值为24 【正确答案】 设 P(x，y)=e ycosx+20ex，Q(x ，y)=e ysinx+14cosy， 则=eycosx， =eycosx, 因为 在整个 xOy 面内成立 所以该曲线积分在整个 xOy 面内与路径无关25 【正确答案】 因为 ，x
