1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 12 及答案与解析一、填空题1 设 f(x)= ，则复合函数 f(x(x)=_2 设 f(x)=ln(x1)+2，则其反函数 f1 (x)_3 设 =e3 ，则 k=_4 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_5 曲线 y=1+ 的渐近线有_6 函数 F(x)=0xt2(t1)dt 的极小值点 x 为_7 设 y+lny 2xlnx=0 确定函数 y=y(x)，则 y=_8 定积分 1 1(x+ )2dx=_9 过点(3 ，2，1) 且与向量 a=1，2，3平行的直线方程为_10 设 f(x)=xex，f (n)(x)=_11 设 f(x)=f(
2、x)，且在(0，+) 内，f(x)0，则曲线 y=f(x)在(，0)内的凸凹性为_12 幂级数 的和函数为_13 设 z= ，则 =_14 微分方程 y+3y+2y=e2x 的特解形式可设为 y*=_15 极限 =_二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 已知函数 y=x+xsinx，求 y18 求不定积分xtan 2xdx19 计算定积分20 设 z= ，其中 f(u)可导，求21 计算二重积分 其中区域 D 为22 求幂级数 的和函数23 已知连续函数 f(x)满足 f(x)= +e2x 求 f(x)三、综合题24 用 a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周
3、的单位面积材料费为底面单位面积材料费的 12 倍，求水池的长与宽各多少米，才能使水池的容积最大?25 由曲线 y=x3 和直线 x=2，y=0 围成一平面图形，试求： (1)该平面图形的面积； (2)该平面图形绕 y 轴旋转一周形成的旋转体体积四、证明题26 设 In=tannxdx(n2)，证明：I n= tann1 xI n2 湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 12 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 因 f(x)= ，于是 ff(x)= ，(x 2)2 【正确答案】 y=e x2 +1【试题解析】 因函数为：y=ln(x1)+2，故其反函数为：y=e x2 +13 【正确
4、答案】 【试题解析】 4 【正确答案】 2【试题解析】 因 ，由 f(x)在x=0 处连续知， =f(0)，故 a=25 【正确答案】 y=1 及 x=1【试题解析】 因 y=1+ ，所以，于是曲线有水平渐近线y=1：又 =+，于是曲线又有垂直渐近线：x=16 【正确答案】 x=1【试题解析】 因 F(x)=0xt2(t1)dt，于是 F(x)=x2(x1)，令 F(x)=0 得驻点x=0，x=1；于是， x0 时，F(x)0；0x1 时，F(x)0；x1 时，F(x)0；故 F(x)在 x=1 处取得极小值，极小值点为 x=17 【正确答案】 【试题解析】 因 y+lny 2xlnx=0，令
5、 F(x，y)=y+lny2xlnx，则8 【正确答案】 4【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 因直线与向量 a=(1，2，3)平行，故向量 a 即为直线的方向向量；又直线过点(3 ，2，1) ，故由标准方程可得直线的方程为：10 【正确答案】 (x+n)e x【试题解析】 因 f(x)=xex，于是 f(x)=ex+xex=(x+1)ex，f(x)=e x+(x+1)ex=(x+2)ex，f(x)=e x+(x+2)ex=(x+3)ex，f (n)(x)=(x+n)ex11 【正确答案】 凸的【试题解析】 因 f(x)= f(x)，所以函数 y=f(x)为奇数，曲线 y=f(x)关
6、于坐标原点对称；又在(0，+)内， f(x)0，进而曲线为凹的；由对称性知，在 ( ，0)内，曲线 y=f(x)是凸的12 【正确答案】 e x (x+)【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 y *=Ae2x(A 为待定常数)【试题解析】 因方程的特征方程为：r 2+3r+2=0，故有特征根： r1=2，r 2=1；又方程的自由项 f(x)=e2x， =2 不是特征根，故微分方程的特解可设为：y *=Ae2x(A为待定常数)15 【正确答案】 【试题解析】 二、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 yx=x sinx，ln(yx
7、)=sinxlnx ，方程两端 y 对 x 求导得 (y1)=18 【正确答案】 19 【正确答案】 令 x=u，dx= du，x=2，u=2，x=2，20 【正确答案】 21 【正确答案】 由被积函数可知：该题必须先积 x22 【正确答案】 因 1，n，所以幂级数收敛半径为R=1，在端点 x=1 处，级数 都收敛，所以该级数收敛域为1，1，设在收敛域内级数收敛于和 f(x)，即：23 【正确答案】 方程两端对 x 求导 f(x)=3f(x)+2e 2x， 即：y=3y+2e 2x，为常系数一阶线性非齐次微分方程 因特征根 r=3，所以齐次方程 y=3y 的通解为 Y=Ce3x，设y*=Ae2
8、x 为原方程的特解，则 y*=2Ae2x，将 y*，y *代入方程 y=3y+2e2x，比较系数可得 A=2，所以 y*=2e 2x，故原方程的通解为：y=Ce 3x2e 2x，当 x=0，f(x)=1，所以 C=3，所以所求函数为 f(x)=3e3x2e 2x三、综合题24 【正确答案】 设长方体水池的长为 x，宽为 y，并设底面单位面积材料费为 m元；由题意：x.y+2(xy+y 2)12m=a；而长方体水池的容积为：V=xy 2该题即求 V=xy2 在条件 x.y+2(xy+y2)12= 下的条件极值由题意可知，当长方体的长为 时，水池的容积最大25 【正确答案】 (1)曲线 y=x3 与直线 x=2，y=0 围成的平面图形如图：所求平面图形的面积为：S= 02x3dx=4(平方单位)；(2)该平面图形绕 Y 轴旋转形成的旋转体的体积为：V=2 28 (立方单位)四、证明题26 【正确答案】
