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    [专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷55及答案与解析.doc

    • 资源ID:910182       资源大小:292KB        全文页数:10页
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    [专升本类试卷]江苏省专转本(高等数学)模拟试卷55及答案与解析.doc

    1、江苏省专转本(高等数学)模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 若 在=( ) (A)(B)(C) 2(D)42 要使 f(x)=ln(1+kx)m 在点 x=0 处连续,应给 f(0)补充定义的数值是 ( )(A)km(B)(C) lnkm(D)e km3 设 f(x2)=x4+x2+1,则 f(1)=( )(A)1(B) 3(C)一 1(D)一 34 已知 f(x)=(x 一 3)(x 一 4)(x 一 5),则 f(x)=0 有( )(A)一个实根(B)两个实根(C)三个实根(D)无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx,g(x)

    2、的一个原函数为 x2,则 fg(x)的一个原函数为( )(A)x 2(B) cos2x(C) cosx2(D)cosx6 设 ex 是 f(x)的一个原函数,则xf(x)=( )(A)e 一 x(x+1)+C(B)一 e 一 x(x+1)+C(C) e 一 x(1 一 x)+C(D)e 一 x(x 一 1)+C二、填空题7 =_.8 若 f(x)在 x=0 处连续,则 a=_9 设函数 的收敛半径为 3,则级数 的收敛区间为_10 曲线 与 x 轴所围图形绕 x 轴旋转一周所成体积为_11 曲线 y=xlnx 的平行于直线 y=x+2 的切线方程为_12 设 ,则全微分 dz=_三、解答题解答

    3、时应写出推理、演算步骤。13 14 ,求 dz15 xf(x)dx=arcsinx+C,求16 若函数 y=y(x)是由参数方程17 设 y=f(x)满足 y一 3y+2y=2ex,其图形在(0,1)处与曲线 y=x2 一 x+1 在该点处切线重合,求 f(x)表达式18 求直线 在平面 x+y+2x 一 1=0 上的投影线方程 .19 求二重积分 ,其中 D 为 x2+y22ay20 将函数 y=xlnx 在 x=1 处展开为幂级数,并指出成立范围。四、综合题21 在直角坐标系的第一象限内作 4x2+y2=1 的切线,使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小,求切点坐标22 某公司的甲、乙两厂生

    4、产同一种产品,月产量分别是 x,y(千件),甲厂的月生产成本是 C1=x2 一 2z+5(千元),乙厂的月生产成本是 C2=y2+2y+3(千元)若要求该产品每月总产量为 8 千件,并使总成本最小,求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本23 把一根长为 a 的铅丝切成两段,一段围成圆形,一段围成正方形,问这两段铅丝各多长时,圆形面积与正方形面积之和最小五、证明题24 设 f(x)在0,1上连续,在 (0,1)内可导,f(0)=0,0f(x)1,求证: 01(x)dx201f3(x)dx江苏省专转本(高等数学)模拟试卷 55 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

    5、1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 C【试题解析】 (1) f(x2)=(x2)2+x2+1,f(x)=x 2+x+1 (2)f(x)=2x+1,f( 一 1)=一 2+1一一 1,选 C 项4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)在3,4连续在(3,4), 可导且 f(3)=f(4)=0, f(x)在3,4满足罗尔定理条件, 故有 f(1)=0(3 14) (2) 同理 f(x)在4,5满足罗尔定理 有f(2)=0,4 25 综上所述,f(x)=0 在(3,5) 至少有两个实根 (3)f(x)=0 是一元二次方程,至多有两个根,故选

    6、 B 项5 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)=(cosx)=一 sinx,g(x)=(x 2)=2x, fg(x)= 一 sin2x (2)(cos2x)=2cosx(-sinx)=一 sin2x, 选 B 项6 【正确答案】 A【试题解析】 F(z)=e -x, f(x)=F(x)=一 e-x, 原式=xdF(x)=xF(x)-F(x)dx 一 xe-x 一e-xdx=(x+1)e-x+C 选 A 项二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 用洛必达法则进行计算8 【正确答案】 1【试题解析】 因为在 f(x)在 x=0 处连续,则9 【正确答案】 (一 2,4)【试题解析】

    7、因级数 收敛半径为 3,易知级数 的收敛半径也为 3,所以收敛区间为(一 2,4)10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 y=x 一 1【试题解析】 因为切线方程平行于直线,所以其斜率为 k=112 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 15 【正确答案】 16 【正确答案】 由参数方程求导法则17 【正确答案】 r 23r+2=0=r 1=1,r 2=2,所以 y=C1ex+C2e2x,y *=Axex,则y*=A(1+x)ex,y *=A(2+x)ex,代入原方程得 A(2+x)ex 一 3A(1+x)ex+

    8、2Axex 一 2ex,化简得 A=一 2 所以 y*=2xex,所以 y=C1ex+Ce2x 一 2xex,则 y=C1ex+2C2e2x 一2(1+x)ex 根据已知条件,图像经过点(0,1),所以有 y(0)=1;又切线的斜率 k=(2x一 1) x=0=一 1,所以有 y(0)=一 1,这样就得到了两个初始条件,分别代入得C1+C2=1,C 1+2C2 一 2=一 1,解得 C1=1,C 2=0,因此 y=ex 一 2xex18 【正确答案】 19 【正确答案】 由对称性知这里的 x2 就是积分区域的面积,即半径为 a 的圆的面积,这里 x2+y2=2ayx 2+(y-a)2=a2,即

    9、圆心为(0,a),半径为 a 的圆20 【正确答案】 y=xlnx=(x 一 1)lnx+lnx=(x 一 1)ln(1+x 一 1)+ln(1+x 一 1)=四、综合题21 【正确答案】 根据题意画出图形:设切点为 由4x2+y2=1 求导得:22 【正确答案】 本题为求函数 z=f(x,y)=x 2+y2 一 2x+2y+8 在条件 x+y 一 8=0 下的条件极值用拉格朗日乘数法总成本 f(x,y)=x 2+y22x+2y+8,约束条件 (x,y)=x+y 一 8=0,作辅助函数 F(x,y)=x 2+y2 一 2x+2y+8+(x+y 一 8)令解得 x=5,y=3 由于驻点(5,3)

    10、唯一,实际中确有最小值所以当 x=5 千件,y=3 千件时使总成本最小,最小成本为 f(5,3)=38 千元23 【正确答案】 设围成圆形的长度为 x,面积设为 S1,则围成正方形的长度为 a一 x,而面积记为 S2,则五、证明题24 【正确答案】 首先证明不等式 0x(t)dt20xf3(t)dt(0x1)令 F(x)=0xf(t)dt2 一0xf3(t)dt,F(x)=2 0xf(t)dt.f(x)一 f3(x)=f(x)20xf(t)dt 一 f2(x),再令 (x)=20xf(t)dt 一f2(x)则 (x)=2f(x)一 2f(x)f(x)=2f(x)1 一 f(x)因为 f(0)=0,f(x)0,所以 f(x)单增,当 x0 时,f(x)f(0)=0又 0f(x)1,于是 (x)0,由此 (x)单增,当 x0 时,(x)(0)=0,所以又有 F(x)0,由此 F(x)单增,当 x0 时,F(x)F(0)=0 ,故 F(1)0,从而有 01f(x)dx201f2(x)dx


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